2024/9/24

[CQOI2011] 放棋子

因为不同颜色的棋子不能在同一行或同一列，所以可以将不同颜色的棋子分开来考虑。

对于每一种颜色，转移时用总方案数减去不合法的方案数，也就是存在行或列没有棋子的方案数。

最后再把每种颜色合并起来即可。

[AGC043D] Merge Triplets

让我们考虑什么样的排列 $P$ 是能被构造出来的。

可以得出一个性质，排列 $P$ 中不存在连续的 $4$ 个整数满足 $P_i>P_{i+1}>P_{i+2}>P_{i+3}$。

也就是说，若我们按照前缀 max 来划分序列，那么没有一段的长度会大于 $3$，并且每一段一定是被同时接上来的。

但这并不充分，我们还需要保证长度为 $2$ 的段数量不大于长度为 $1$ 的段。

因为我们在构造序列 $P$ 时，要么是直接接上一个长度为 $3$ 的段，要么是接上一个长度为 $2$ 的段再接上一个长度为 $1$ 的段，或者干脆直接接上三个长度为 $1$ 的段。这样子长度为 $1$ 的段的个数不会少于长度为 $2$ 的段的个数。

所以，我们设 $f_{i,j}$ 表示考虑了前 $i$ 个数，其中长度为 $1$ 的段的个数减去长度为 $2$ 的段的个数为 $j$ 的方案数。

转移是平凡的。

时间复杂度 $O(n^2)$。

[AGC059C] Guessing Permutation for as Long as Possible

让我们考虑三个数 $a,b,c$，若我们想要 $a$ 和 $c$ 的关系在最后被得出，就必须得保证 $b$ 不在 $a,c$ 之间。

不然我们总可以从 $a,b$ 和 $b,c$ 的关系来推出 $a,c$ 的关系。

所以我们可以用 2-sat 或者并查集来维护每个数之间的关系。

每一个连通块之间的关系可以唯一确定一个排列，所以设连通块个数为 $k$，答案就为 $2^k$。

[ARC117C] Tricolor Pyramid

我们给每种颜色赋上一个数 $0,1,2$。

我们可以发现，对于一个颜色为 $k$ 的积木，若它下面的两块积木颜色分别为 $i,j$，那么 $k=-(i+j)mod3$。

可以发现最下面积木对对最顶层积木贡献的形式就是杨辉三角。

可以用卢卡斯定理来求组合数。

[AGC035D] Add and Remove

每删除一个数，这个数就会对它左边和右边的数造成贡献。

其中，第 $1$ 个数和第 $n$ 个数不会被删除，我们不用考虑它。

考虑从最后一个被删除的数开始 dp，设 $dp[l][r][ls][rs]$ 表示现在的区间是 $[l,r]$ 其中会对左边的数贡献 $ls$ 次，对右边的数贡献 $rs$ 次。

那么有 $dp[l][r][ls][rs]=min(dp[l][i-1][ls][rs+ls]+dp[i+1][r][ls+rs][rs]+(ls+rs)\cdot a[i])$。

直接暴力 dfs 的时间复杂度 $O(3^n)$，实际上 $n$ 只有 $16$。

[EGOI 2022] Lego Wall

积木有两种，分别是 $1\times 1$ 的和 $1\times 2$ 的。

可以发现，若两列是联通的，当且仅当这两列之间存在一个 $1\times 2$ 的积木。

由此，我们可以设计出一个 $w{h}^2$ 的 dp，设 $f_{i,j}$ 表示目前在第 $i$ 列且这一列的 $1\times 2$ 的积木数量为 $j$。

那么有转移 $f_{i,j}=\sum _{k=1}^h{f}_{i-1,k}\times C_{h-k}^j$。

但 $O(w{h}^2)$ 的复杂度无法通过此题。

注意到 $wh\le 5\cdot {10}^5$，考虑另外一种做法。

刚才我们是一列一列的来考虑，现在我们一行一行的来考虑。

对于单独的一行，它的方案数为 $f_i$，有 $f_i=f_{i-1}+f_{i-2}$ 也就是斐波拉契数列。若我们先不考虑联通的限制，那么对于所有的 $h$ 行来说，就有 $F_i=f_i^h$ 种方案。

同时，我们设 $g_i$ 表示前 $i$ 列都联通的方案数，转移可以用容斥，那么有 $g_i=F_i-\sum _{k=1}^{w}gk\times F_{w-k}$。

时间复杂度为 $O(w^2)$。

我们只需要将上述的两种做法合在一起就行了。

平衡过后的复杂度为 $O(w^{\frac{4}{3}})$。

待补

• [AGC036F] Square Constraints
• [AGC058D] Yet Another ABC String