Miller-Rabin 素数判定 与 Pollard Rho

今天打模拟赛的时候没想到 $T1$ 要这鸟玩意，不会，赛后去学习了一下

参考文献：

warzone大佬

不知道叫什么的大佬

oi-wiki

$sto$ $ywc$大佬 $orz$

$Miller-Rabin$

这个东西是干嘛的捏。

在一个较为快速的时间内判断一个数是不是质数。

首先我们有两个前置知识。

• 费马小定理：当 $p$ 为质数时，$a^{p-1}\equiv 1(modp)$

• 二次探测定理：如果 $p$ 是奇素数，那么如果有 $x^2\equiv 1(modp)$ ，如果解为 $\pm 1$ ，那么 $n$ 大概率为质数，否则 $n$ 一定为合数。

而其实对于素数判定来说，我们还有费马素数判定。

即倘若 $a^{p-1}\equiv 1(modp)$ ，那么我们可以猜测很大概率 $p$ 为质数，当然这也有误差，有一些合数是判不出来的，比如 $561$ ，所以仅有费马素数判定是不够的，我们还得有其他东西来辅助判断。

而辅助的东西就是 $Miller-Rabin$

$Miller-Rabin$ 需要将费马小定理和二次探测定理结合起来使用。

所以我们先要指导一下为什么二次探测定理是正确的。

二次探测定理证明：

$x^2\equiv 1(modp)\Rightarrow x^2-1\equiv 0(modp)\Rightarrow (x+1)(x-1)\equiv 0(modp)$

也就是说 $(x+1)(x-1)$ 是 $p$ 的倍数，因为 $p$ 是质数，所以 $p\mathrm{\%}(x+1)$ 不可能为 $0$ ，而 $p\mathrm{\%}(x-1)$ 不可能为 $0$ ，所以 $(x+1)(x-1)$ 不可能为 $p$ 的倍数，所以只有可能 $(x+1)(x-1)=0$

所以 $x=\pm 1=1orp-1$

证毕。

$Miller-Rabin$ 实现：

$a$ 是一个任意底数

$a^{p-1}\equiv 1(modp)$

而对于 $p-1$ 如果 $p$ 是质数，那么我们只需要对 $2$ 进行特判以后，那么 $p-1$ 一定是偶数。

而任意偶数一定可以表示成 $u\times 2^r$

$a^{p-1}=(a^u{)}^{2^r}\equiv 1(modp)$

我们将逐次进行分解枚举，第一次判断 $a^u$ 第二次是 $a^{2u}$ 第三次是 $a^{4u}$ ，也就是外面那层 $2^r$ 。

然后我们对于所有的这些都进行判定之后就可以了。

但是这样我们归根结底也只能大概率判断他是一个素数，而不能确定，所以我们需要使用多个底数，然后有一些说法。

一般来说使用 $2\sim 37$ 的素数判定即可，这样可以正确检验出 $n\le {10}^{18}$ 的质数 。

单次判定时间复杂度为 $O(k{\log }^{2}n)$ ，$k$ 为选择的底数的个数。

还有一些具体的细节在代码里给出：

点击查看代码

int prime[10+10]={2,3,5,7,11,233,331},tim=7;
LL ksm(LL x,LL y,LL MODD) {
	LL ret=1;
	while(y) {
		if(y&1) ret=ret*x%MODD;
		x=x*x%MODD;
		y>>=1;
	}
	return ret;
}
LL mul(LL x,LL y,LL MODD) {
	LL ret=0;
	while(y) {
		if(y&1) ret=(ret+x)%MODD;
		x=(x+x)%MODD;
		y>>=1;
	}
	return ret;
}
bool miller_rabin(LL a,LL n) {
	LL s=n-1,r=0;
	while(!(s&1)) {
		s>>=1; 
		++r;
	}
	LL x=ksm(a,s,n);//先求出a^u
	for(int i=0;i<r;++i) {//每次翻倍
		LL tmp=mul(x,x,n);//太大的时候用龟速乘，如果不用的话时间复杂度降到 $O(klogn)$
		if(x!=1&&x!=n-1&&tmp==1) return false;
		//将上一个x，作为底，如果他的平方为1，且他自己不为1，就不符合二次探测
		x=tmp;
	}
	return (x==1);//费马判定
}
bool check(int n) {
	if(n==1) return false;//特判
	for(int i=0;i<tim;++i) {
		if(n==prime[i]) return true;//特判
		if(!miller_rabin(prime[i],n)) {
			return false;
		}
	}
	return true;
}

$PollardRho$

咕咕咕