辗转相减法

辗转相减法

1、理论依据

$$gcd(a,b) = gcd(b,a-b)$$

辗转相除法的证明

2、应用
用来求若干个形如$(\frac{p}{q})^{r_i}$的最大公约数：其中

• $\frac{p}{q}$不是次幂的形式
• p、q、$r_i$均为正整数
• 辗转相减法

int gcd(int a, int b) {
  int(a == b)  return a;
  return a > b ? gcd(b,a-b) : gcd(a, b-a); 
}

3、算法推导
我们要求求若干个形如$(\frac{p}{q})^{r_i}$的最大公约数，即求指数的最大公约数，
$f(p^x, p^y) = p^{(x,y)} = p^{(y,x-y)})=f(p^y, p^{(x-y)}) = f(p^y, \frac{p^x}{p^y})$
注意 x 要大于 y

int gcd_sub(int a,int b) {
  if(a < b)  swap(a,b);
  if(b == 1)  return a;
  
  return gcd_sub(b, a/b);  
}

数论例题：最大比例