P11216 【MX-J8-T4】2048 题解
这是本蒟蒻的第一篇正式题解。
本题重点在于找到无解序列的充要条件，首先记 \(a_i\) 为游戏结束时第 \(i\) 个数取 \(2\) 的对数，\(t_i\) 为第 \(i\) 个数出现时间离散化后的值，显然 \(a\) 相邻两项不同，\(t\) 是一个排列，如果一个位置比它相邻位置大且出现时间小，直接按照顺序合成即可，如果一个元素比它相邻位置小且出现时间小呢？我们可以先合成较大数的一半再合成较小数，最后合成较大数，具体参考样例解释中 \([2,8,4,2]\) 的第四种情况。
一些性质
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\(a\) 是单峰的，\(t\) 是单谷的，归纳易证。
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\(a_i+t_i-1 \le n\)，这是因为已经有 \(t_i-1\) 个位置被占，且第\(i\)个数至少需要 \(a_i\) 个位置才能合成。
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若 \(t_i<t_{i+1}\)，那么 \(a_i+1\ne a_{i+1}\)，这是因为如果 \(a_i+1=a_{i+1}\)，那么 \(a_{i+1}\) 的合成会影响到 \(a_i\) 的合成。同理，若 \(t_i<t_{i-1}\)，那么 \(a_i+1\ne a_{i-1}\)。
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若 \(t_{i-1}<t_i<t_{i+1}\)，那么不可能会有 \(a_{i-1}<a_i<a_{i+1}\)，这是因为如果 \(a_{i-1}<a_i<a_{i+1}\)，那么首先要合成 \(a_{i+1}-1\)，然后合成 \(a_i-1\)，最后合成 \(a_{i-1}\)，这会使 \(a_i-1\) 无法进一步合成出 \(a_i\)。同理，若 \(t_{i-1}>t_i>t_{i+1}\)，那么不可能会有 \(a_{i-1}>a_i>a_{i+1}\)。
我们容易发现，这些性质已经充要，我们来考虑如何 dp。
DP
考虑到性质 1 和性质 4，可以发现出现时间最小的位置只能是 \(a\) 中最大的位置或这个位置的相邻两个位置，也就是下图中红框框住的点。也就是说出现时间最小的位置的两边元素大小分别是单增和单减，因此我们可以按照出现时间从大到小进行转移。
设 \(F_{i,L,R}\) 表示已经有 \(i\) 个数确定，其中左块最右边的数是 \(L\)，右块最左边的数是 \(R\)，首先考虑 \(L\) 与 \(R\) 的范围。假设格子总数是 \(m\)，第 \(j\) 个转移的数大小为 \(x\)，根据性质 2 有：$x+m-j\le m $，也就是 \(x\le j\)，因此有 \(L\le i\)，\(R\le i\)。转移方程为：\(F_{i,L,R}=(\sum_{[tl\lt L]}F_{i-1,tl,R} )+(\sum_{[tr\lt R]}F_{i-1,L,tr} )\)，这个东西可以用前缀和优化，贡献答案时差分即可，时间复杂度 \(O(300^3+T)\)。
AC Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,mod,n,x,dp[305][305][305],f[305][305][305],g[305][305][305],sum[305][305];
void add(int &x,int y){
(x+=y)%=mod;
}
void fun(int n,int lx,int rx,int res){//计算贡献
add(sum[n][lx],res),add(sum[n][rx+1],mod-res);
}
int main(){
scanf("%d%d",&T,&mod);
dp[0][0][0]=g[0][0][0]=f[0][0][0]=1,fun(1,1,1,1);
for(int i=1;i<300;i++)
for(int j=0;j<=i;j++)
for(int k=0;k<=i;k++)if(j+k){
if(j)add(dp[i][j][k],f[i-1][j-1][k]);
if(k)add(dp[i][j][k],g[i-1][j][k-1]);
f[i][j][k]=g[i][j][k]=dp[i][j][k],fun(i+1,max(j,k)+1,i+1,dp[i][j][k]);
if(j+1<=k-2)fun(i+1,k,k,dp[i][j][k]*2LL*((k-2)-(j+1)+1)%mod); //考虑到对称性直接*2即可
if(j)add(f[i][j][k],f[i][j-1][k]);
if(k)add(g[i][j][k],g[i][j][k-1]);
}
for(int i=1;i<=300;i++)for(int j=1;j<=300;j++)add(sum[i][j],sum[i][j-1]);
for(int i=1;i<=300;i++)for(int j=1;j<=300;j++)add(sum[i][j],sum[i][j-1]);
while(T--)scanf("%d%d",&n,&x),printf("%d\n",sum[n][x-1]);
return 0;
}
如有表达不清可以在评论区里交流讨论。
