Baby-Step-Giant-Step及扩展算法

引入
       来看这样一个数论问题：给定一个质数p，以及正整数a，b，求满足同余方程 a^x ≡ b(mod p) 的最小非负整数x，无满足的x则输出-1。
       如果只是简单的枚举x，那么要想得出结论，由于循环节最大为p-1，就需要枚举0~p-1去验证答案，当 p 的数量级达到10⁹ 时，这种枚举显然不能满足算法时间复杂度的需求了。
       因此就需要用到接下来要介绍的 BSGS 算法。
一、定义

求一种特殊同余方程，A^x≡B(mod C)的最小整数解，其中A、C互质的一种算法。

二、原理

给定a,b,c，a与c互质，求解a^x≡b(mod c)的最小非负整数解。可能无解。

a与c互质,根据欧拉定理有a^φ(c)≡1(mod c),如果有解就一定在0 到φ(c)-1内,否则无解,根据这样的定理即使这样,直接从小到大枚举x会超时。

Baby step giant step算法步骤和要点如下：

把0到c-1按m= (上取整)分块
把a0,a1,...,ammod c的值存到hash表中(或者存起来排好序)
如果x有解,x一定可以表示成i*m+j(0≤i,j≤m-1),从小到大枚举i,ai*m+j=(am)i*aj,(am)i的值易求,(am)i*aj≡b(mod c)中aj mod c的值v可以用扩展欧几里得来求,也可以根据欧拉定理得v=aφ(c)-i*m*b mod c,因为a与c互质,v的值只有一个
接着在hash表中(或有序数组中二分)找出最小的j使得aj mod c=v,如果找到则答案为i*m+j否则无解。