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树形结构1

堆

定义：堆(Heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构，是最高效的优先级队列。堆通常是一个可以被看做一棵完全二叉树的数组对象。

堆分为大根堆和小根堆（从小到大用大根堆，从大到小用小根堆）

堆排序：

1、将带排序的序列构造成一个大顶堆，根据大顶堆的性质，当前堆的根节点（堆顶）就是序列中最大的元素；

2、将堆顶元素和最后一个元素交换，然后将剩下的节点重新构造成一个大顶堆；

3、重复步骤2，如此反复，从第一次构建大顶堆开始，每一次构建，我们都能获得一个序列的最大值，然后把它放到大顶堆的尾部。最后，就得到一个有序的序列了。

#include <bits/stdc++.h>
#define N 1000
using namespace std;

void max_heapify(int arr[], int left, int right)
{
    int dad = left;
    int son = dad * 2 + 1;
    while( son <= right )
    {
        if( son + 1 <= right && arr[son] < arr[son + 1])
            son++;
        if( arr[dad] > arr[son] )
            return ;
        else
        {
            swap(arr[dad],arr[son]);
            dad = son;
            son = dad * 2 + 1;
        }
    }
}

void heap_sort(int arr[],int len)
{
    int i;
    for( i = len / 2 - 1; i >= 0; i-- )
        max_heapify(arr, i, len - 1);
    for( i = len - 1; i > 0; i--)
    {
        swap(arr[0], arr[i]);
        max_heapify(arr, 0, i - 1);
    }
}

int main()
{
    int n;
    int arr[N];
    cin>>n;
    for(int i = 0; i < n; i++)
        cin>>arr[i];
    heap_sort(arr,n);
    for(int i = 0; i < n; i++)
        cout<<arr[i]<<' ';
    return 0;
}

并查集

定义：并查集是一种特殊的数据结构（它的逻辑结构本质也是一颗“树”，有唯一的根节点，任意数的子节点），它的特殊在于它只定义了两种数据操作（查找和合并）。这是用来解决连通性问题，查找（find）：就是查找任意两个节点是否连通，就是是否有共同的祖先（节点找它的父节点的过程，一层一层地找）。合并（union）：把两个不同集合的节点合并在一起。

例题：食物链(P2024)

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 150005
using namespace std;
int fa[maxn];
int ans;
int findFa(int x)
{
    //只有x的祖父节点的根节点才为本身
    if(x==fa[x])return x;
    //递归找跟节点,这里对并查集高度进行优化,变为2层不懂可以自己画个图!
    return fa[x]=findFa(fa[x]);
}

inline void Union(int x,int y)
{
    //先找到x,y的根节点,然后fa[x的根节点]指向y的根节点,即可合并成功!
    fa[findFa(x)]=findFa(y);
}
//判断是否在一个集合中
inline bool sameSet(int x,int y)
{
    return findFa(x)==findFa(y);
}

int main()
{
    int n,k;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1; i<=3*n; i++)
    {
        fa[i]=i;
    }
    for(int i=1; i<=k; i++)
    {
        int c,x,y;
        scanf("%d%d%d",&c,&x,&y);
        if(x<=n&&y<=n)
        {
            //c==1,x和y是同类
            if(c==1)
            {
                //x和y的猎物,x和y的天敌都不是同一类,就Union他们,否则ans++
                if(!sameSet(x,y+n)&&!sameSet(x,y+2*n))
                {
                    Union(x,y);
                    Union(x+n,y+n);
                    Union(x+2*n,y+2*n);
                }
                else
                {
                    ans++;
                }
            }
            else  //c==2,x吃y
            {
                if(x!=y)
                {
                    //x和y不是同一类，x的天敌y+n和x也不是同一类
                    if(!sameSet(x,y)&&!sameSet(x,y+n))
                    {
                        //得到新关系
                        Union(x+n,y);
                        Union(x+2*n,y+n);
                        Union(x,y+2*n);
                    }
                    else
                    {
                        //x和y是同一类
                        ans++;
                    }
                }
                else
                {//x和y同类,与c不符合,ans++
                    ans++;
                }
            }
        }
        else//当输入的x或y大于N时越界,ans++
        {
            ans++;
        }
    }
    printf("%d",ans);

    return 0;
}

线段树

定义：线段树是一种二叉搜索树（实质是平衡二叉树），线段树的每个结点都存储了一个区间，也可以理解成一个线段。

作用：线段树的适用范围很广，可以维护修改以及查询区间上的最值、求和。更可以扩充到二维线段树（矩阵树）和三维线段树（空间树）。对于一维线段树来说，每次更新以及查询的时间复杂度为O(log n)。

事实上，线段树多用于解决区间问题，但并不是线段树只能解决区间问题。

线段树的代码长到离谱，背起来会有亿点点困难

例题

P2023 [AHOI2009]维护序列

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 100005
#define ll long long
#define inf 1000000009000000000
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)

ll mod;
struct e
{
    ll left, right; //该节点的区间范围
    ll add;  //区间增量
    ll mul;  //区间乘量
    ll sum;  //区间和，包括add在内
};

e tree[4*maxn];
ll a[maxn];//记录原始值

//建树，从上往下建
ll build(ll s, ll t, ll num)
{
    ll i, j;
    tree[num].left = s;
    tree[num].right = t;
    tree[num].add = 0;
    tree[num].mul=1;
    if (s != t)
    {
        i = build(s, (s + t) / 2, num * 2);
        j = build((s + t) / 2 + 1, t, num * 2 + 1);
    }
    else//s等于t说明是最底层
    {
        tree[num].sum = a[s];
        return(a[s]);
    }
    tree[num].sum = i + j;//求和
    tree[num].sum%=mod;
    return(tree[num].sum);
}

void insert(ll s, ll t, ll add,ll mul,ll num)
{
    //如果发现是s,t的子集，标记并修改后返回
    if (s <= tree[num].left&&tree[num].right <= t)
    {
        tree[num].add*=mul;
        tree[num].add += add;
        tree[num].sum*=mul;
        tree[num].sum += add * (tree[num].right - tree[num].left + 1);
        tree[num].sum%=mod;
        tree[num].mul*=mul;
        tree[num].add%=mod;
        tree[num].mul%=mod;
        //cout<<"add="<<tree[num].add<<endl;
        return;
    }

    //发现不是s,t的子集，检查是否被标记过，分散到左右子节点中，重置add
    //为什么要执行这个操作，因为后面需要标记它后面的某个子集，而后面的子集原来都是没标记的，所以必须提前分配
    if (tree[num].add||tree[num].mul!=1)
    {
        tree[num*2].sum*=tree[num].mul;
        tree[num * 2].sum += tree[num].add*(tree[num * 2].right - tree[num * 2].left + 1);
        tree[num*2].sum%=mod;

        tree[num*2+1].sum*=tree[num].mul;
        tree[num * 2 + 1].sum += tree[num].add*(tree[num * 2 + 1].right - tree[num * 2 + 1].left + 1);
        tree[num*2+1].sum%=mod;

        tree[num*2].mul*=tree[num].mul;
        tree[num*2+1].mul*=tree[num].mul;

        tree[num*2].add*=tree[num].mul;
        tree[num * 2].add += tree[num].add;
        
        tree[num*2+1].add*=tree[num].mul;
        tree[num * 2 + 1].add += tree[num].add;

        tree[num*2].mul%=mod;
        tree[num*2+1].mul%=mod;
        tree[num * 2].add %=mod;
        tree[num * 2 + 1].add %=mod;

        tree[num].add = 0;
        tree[num].mul=1;
    }

    if (s <= (tree[num].left + tree[num].right) / 2)
        insert(s, t, add, mul,num * 2);
    if (t>(tree[num].left + tree[num].right) / 2)
        insert(s, t, add, mul,num * 2 + 1);
    tree[num].sum = tree[num * 2].sum + tree[num * 2 + 1].sum;
    tree[num].sum%=mod;
}

ll search(ll s, ll t, ll num)
{
    ll i = 0, j = 0;
    //搜索到是其子集，返回sum
    if (s <= tree[num].left&&tree[num].right <= t)
    {
        //cout<<tree[num].left<<" "<<tree[num].right<<" "<<tree[num].sum<<endl;
        return(tree[num].sum);
    }
    //与修改一样，必须分配下去
    if (tree[num].add||tree[num].mul!=1)
    {
        tree[num*2].sum*=tree[num].mul;
        tree[num * 2].sum += tree[num].add*(tree[num * 2].right - tree[num * 2].left + 1);
        tree[num*2].sum%=mod;

        tree[num*2+1].sum*=tree[num].mul;
        tree[num * 2 + 1].sum += tree[num].add*(tree[num * 2 + 1].right - tree[num * 2 + 1].left + 1);
        tree[num*2+1].sum%=mod;

        tree[num*2].mul*=tree[num].mul;
        tree[num*2+1].mul*=tree[num].mul;
        tree[num*2].add*=tree[num].mul;
        tree[num * 2].add += tree[num].add;
        tree[num*2+1].add*=tree[num].mul;
        tree[num * 2 + 1].add += tree[num].add;

        tree[num*2].mul%=mod;
        tree[num*2+1].mul%=mod;
        tree[num * 2].add %=mod;
        tree[num * 2 + 1].add %=mod;

        tree[num].add = 0;
        tree[num].mul=1;
    }
    if (s <= (tree[num].left + tree[num].right) / 2)
    {
        i = search(s, t, num * 2);
        i%=mod;
    }
    if (t>(tree[num].left + tree[num].right) / 2)
    {
        j = search(s, t, num * 2 + 1);
        j%=mod;
    }

    return(i + j)%mod;
}

int main()
{
    IOS;
    ll k, n, m, p, t;
    cin>>n>>mod;
    for (ll i = 1; i <= n; i++)
        cin>>a[i];
    build(1, n, 1);
    cin>>m;
    for (ll i = 1; i <= m; i++)
    {
        ll s,a,b,c;
        cin>>s;
        if(s==1)
        {
            cin>>a>>b>>c;
            c%=mod;
            insert(a,b,0,c,1);
        }
        else if (s == 2)
        {
            cin>>a>>b>>c;
            c%=mod;
            insert(a, b, c, 1, 1);
        }
        else
        {
            cin>>a>>b;
            cout << search(a, b, 1) << endl;
        }
    }

    return(0);
}