前缀和与差分

前缀和

*一维

定义：一维前缀和S[i]表示的就是a[1]+a[2]+…+a[i]。

作用：求a[i]~a[j]的和

      例如：有一列数字{a}，多次询问一个区间[L,R]的和。n,m<=1000000。n

      做法很简单，令s[p]=s[p-1]+a[p]=a[1]+a[2]+…+a[p]，那么：

      a[L]+a[L+1]+…+a[R]=s[R]-s[L-1]

递推式：s[i]=s[i-1]+a[i]

*二维

定义：二维前缀和S[i][j]表示的是所有a[i’][j’]（1<=i’<=i, 1<=j’<=j）的和。

作用：假如我们处理出了前缀和S[i][j]，给定x1,y1,x2,y2,我们想求一下所有

      A[i’][j’](x1<=i’<=x2,y1<=j’<=y2)的和。

      ans=S[x2][y2]-S[x2][y1-1]-S[x1-1][y2]+S[x1-1][y1-1]

递推式：S[i][j]=S[i-1,j]+S[i,j-1]-S[i-1,j-1]+a[i,j]

 

 

 

差分

思想：差分的思想是前缀和思想的逆运算，通过构造一个新的数组，使原来的数

组的每一个元素是新数组的前缀和。

作用：给定一个长度为n的序列a，要求多次做区间加操作，即对a[L]~a[R]

      的每个数都加上v。问最后序列a是什么样的。

      考虑前缀和的逆变换，a[p]=S[p]-S[p-1]，S是a的前缀和

      可以通过差分来解决问题或者降低复杂度

递推式：一维——每次a的一个区间[L,R]+=v，等价于b[L]+=v,b[R+1]-=v

        二维——b[x][y]=a[x][y]+a[x-1][y-1]-a[x-1][y]-a[x][y-1]

                修改矩形[x1,y1,x2,y2]等价于

                b[x1][y1]+=v, b[x2+1][y2+1]+=v, b[x1][y2+1]-=v, b[x2+1][y1]-=v。

洛谷题库P2879[Tallest Cow S]

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>

using namespace std;

typedef struct ne{
    int l,r;

    friend bool operator<(const ne a, const ne b)
    {
        if(a.l == b.l)
        {
            return a.r < b.r;
        }
        else
        {
            return a.l < b.l;
        }
    }
}node;

int change[1000006];
int n, h, sit, r;
node list[1000006], temp[1000006];

int main()
{
    cin>>n>>sit>>h>>r;
    for(int i = 1;i <= r;i++)
    {
        cin>>temp[i].l>>temp[i].r;
        if(temp[i].r < temp[i].l)
        {
            swap(temp[i].r, temp[i].l);
        }
    }

    int cnt = 1;
    sort(temp + 1,temp + 1 + r);
    for(int i = 1;i <= r;i++)
        if(temp[i].l != temp[i-1].l || temp[i].r != temp[i-1].r)
        {
            list[cnt++] = temp[i];
        }
    {
    }

    for(int i = 1;i <= cnt;i++)
    {
        change[list[i].l + 1]++;
        change[list[i].r]--;
    }

    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        change[i] = change[i] + change[i - 1];
        cout<<(h - change[i])<<endl;
    }
    return 0;
}