递归法（Recursion）是一种在函数或方法中调用自身的编程技术，在计算机方法中，使用递归技术往往使函数的定义和算法的描述简洁且易于理解。任何可以用计算机求解的问题所需要的计算时间都与其规模有关。而且规模越小，解题所需要的计算时间通常越小，从而比较容易处理。
简而言之，递归思想就是用与自身问题相似但规模较小的问题来描述自己。
例如，兔子出生两个月后就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
第一个月小兔子没有繁殖能力，所有还是一对；两个月后，生下一对，兔子共2对；三个月后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对。
以此类推，如下所示。
所经过月数：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
兔子对数： 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
表中数字1,1,2,3,5,8^233构成一个序列。这个数列有个明显的特点，即前面两项之和构成后一项。用数学表示这个无穷数列称为裴波那契数列，形式化描述为：
1 , n=0
F(n)= 1 ,n=1
F(n-1)+F(n-2) ,n>1
该数列就是个典型递归数列。
#include<iostream> using namespace std; int fib(int n) { int f=0; if(n==1) return 0; if(n==2) return 1; f=fib(n-1)+fib(n-2); return f; } int main() { int n,i,m=0; cin>>n; m=fib(n); cout<<"第"<<n<<"项是"<<m<<endl; m=0; for(i=1;i<=n;i++) m=fib(i)+m; cout<<"前"<<n<<" 项和是"<<m<<endl; return 0; }
递归算法的特性：
（1）求解规模为n的问题可以转换成一个或多个结果相同、规模较小的问题，然后从这些小问题的解能方便地构造出大问题的解。
（2）递归调用的次数必须是有限的。
（3）必须有结束递归的条件（边界条件）来终止递归。即当规模为1时，能够直接得解。
递归的执行过程：
递归算法的执行过程划分为递推和回归两个阶段。在递推阶段，把规模为n的问题求解推到比原问题的规模较小的问题求解，且必须要有终止递推的情况。在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐渐返回，依次得到规模较大问题的解。
需要注意的是，用递归描述问题并不表示程序也一定要直接用递归实现。
递归算法的优点：结构清晰、可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。
递归算法的缺点：运行效率相对较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。通常解决方法是消除递归算法中的递归调用，使递归算法转换为非递归算法。
理论上递归算法都可以转换为非递归算法。方法有如下3种
(1)通过分析，跳过分解部分，直接用循环结构实现求值过程。
(2)用栈保存程序的运行过程，通过分析只保存必须保存的信息，从而用非递归算法替代递归算法。
(3)利用栈保存参数，由于栈的后进先出特性与递归算法的执行过程相似，因而可以用非递归算法替代递归算法。
1汉诺塔问题求解
假设有n个金盘，并且金盘由小到大一次编号为1,2,3……n。要把放在A针上的n个金盘移到目的针C上。当只有一个金盘，即n=1时，只要将编号为1的金盘从A针直接移到C针上即可。当n>1时，可以把最上面的n-1个金盘看作一个整体。这样n个金盘就分成了两个部分：上面n-1个金盘和最下面的编号为n的金盘。移动金盘的问题可以转换为如下3个步骤：
1）借助C针，将n-1个金盘从A针移到B针上；
2）将编号为n的金盘直接从A针移到C针上；
3）借助A针，将B针上的n-1个金盘移到C针上。
其中，第二步只移动一个金盘，容易解决。第一、三步不能直接解决，但由于已经把移到n个金盘问题变成了移到n-1个金盘的问题，问题规模变小。如果再把第一、三步分别变成类似的三个子问题，移到n-1个金盘的问题就可以变成移到n-2个金盘的问题，依次类推，从而将问题加以解决。
#include<iostream> using namespace std; void Move(int n,char x,char y) { cout<<"把"<<n<<" 号从 "<<x<<"挪动到 "<<y<<endl; } void Hannoi(int n,char a,char b,char c) { if(n==1) Move(1,a,c); else { Hannoi(n-1,a,c,b); Move(n,a,c); Hannoi(n-1,b,a,c); } } int main() { cout<<"以下是3层汉诺塔的解法"<<endl; Hannoi(3,'a','b','c'); cout<<"输出完毕！"<<endl; return 0; }
2 八皇后问题
在8*8国际象棋盘上放置8个黄昏，使任何一个皇后都不能吃掉另一个。即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或者同一斜线上，问共有多少种放置方案。
假设当前生成全排列中的第t个数字大于n，其中，t是每一行从左到右的标号，n是棋盘的行数，则说明生成了一个全排列，否则：
1）从1~8中依次取出一个数字来尝试，如果此数字前面已经出现，则取下一个数字，直到找到第一个没有出现过的数字；
2）将这个数字标记为已出现，然后以同样的方法生成全排列中的下一个数字；
3）将这个数字标记为未出现；
显然，这是一个递归定义，递归的结束条件为t>n。
#include<iostream> using namespace std; int result=1; int chess[8]; //根据前面几行的棋子，检查这一行所放的棋子是否合法 int check(int n) { int i; for(i=1;i<=n-1;i++) { if(chess[n] == chess[i]+(n-i) || chess[n]==chess[i]-(n-i) || chess[n]==chess[i]) return 0; } return 1; } void show_chess(void) { int i; cout<<endl<<"Result -"<<result<<endl; for(i=1;i<=8;i++) { cout<<i<<" : "<<chess[i]<<"\t"; } ++result; } //递归函数：放棋子 void putchess(int n) { int i; if(n<=8) { for(i=1;i<=8;i++) {//将第n行从第一格(i)开始往下放 chess[n]=i; if(check(n) == 1) {//若可放，则检查是否放满 if(n==8) show_chess();//若已放满到8行时，则表示找出一种解，打印出来 else putchess(n+1);//若没放满则放下一行 putchess(n+1) } } } } int main() { cout<<"This is for 8*8 matrix"<<endl; putchess(1); return 0; }
