[HDU6057] Kanade‘s convolution （FWT）

题面

出自HDU6057

给你两个数列 $A[0...2^m-1]$ 和 $B[0...2^m-1]$。

请计算数列 $C[0...2^m-1]$:

$$C[k]=\sum _{iandj=k}A[ixorj]\ast B[iorj]$$

你只需要输出 ${\sum }_{i=0}^{2^m-1}C[i]\ast 1526^i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}998244353$

$m<=19$

$0\le A[i],B[i]<998244353$

题解

公式中的条件让我们很想用快速沃尔什变换FWT，但是该公式和FWT基本式子大相径庭，无疑给我们造成了巨大的麻烦。

我们只有两条路可走，化式子，换元。

目前公式的形态想要化式子是毫无可能性的，我们只好先换元后再做打算。

我们知道，两个数异或、按位或、按位与三个运算是有等量关系的，即：

$$ixorj=(iorj)-(iandj)=(iorj)xor(iandj)$$

有了这个关系，我们就可以消去其中一个甚至两个运算，不妨设 $x=ixorj,y=iorj$，则

$$\begin{gathered} x=y-(iandj)=yxor(iandj) \\ \iff xxory=(iandj) \\ xxory=k(x\subseteq y,即xandy=x) \end{gathered}$$

化到这一步，不免心中大喜，想要直接代成 $C[k]={\sum }_{xxory=k}A[x]\ast B[y]$，并用类似子集卷积的方式限制位数来完成那热血沸腾的最后一步。

若真是这么简单，可就大错特错。这里有个坑，虽然有样例等各种数据的鼎力相助，发现这个坑对于OIer来说并不难，但当我们发现它，却着实令人倒吸一口凉气。

我们发现二元组 $(x,y)$ 和 $(i,j)$ 并不是一一对应！

没错，这有点令人吃惊，发现之初，甚至笔者有那么一瞬间考虑过重新化式子。这时候，冷静的思考就显得格外重要。重新化式子不是不可能，但无疑会令人士气大挫，想要再成功地化式子，除非是顶级高手，不然短时间内绝对办不到。沉吟片刻，我们自然而然地发现了其中的内在关系。

一对 $(x,y)$ 对应的 $(i,j)$ 不一定唯一，但它们的数量确是准确的 $2^{count(x)}$！

$count(x)$ 作为 x 中 1 的个数的定义不必多言，但为什么呢？

从定义入手，确定了 x 和 y 后，$iandj$ 就可以确定了，也就是说我们已经确定了 $i$ 和 $j$ 中共有的 1 是哪些，这是唯一的，那么接下来 x ($ixorj$)则确定了 $i$ 和 $j$ 中只有其一拥有的 1 的分布，这是不定的，既然这其中任意一个 1 既有可能属于 $i$ ，又有可能属于 $j$ ，那么总数不就自然是 $2^{count(x)}$ 了吗？

打通了阻碍后，接下来的化式子便水到渠成：
$$\begin{array}{c}C[k]={\sum }_{xxory=k}A[x]\ast B[y]\ast 2^{count(x)}\\ ={\sum }_{xxory=k}(A[x]\ast 2^{count(x)})\ast B[y]\\ (x\subseteq y)\end{array}$$
终于长舒一口气，我们可以用代码去演绎了……

_{（😅最近小说看的有点多，啰嗦了点，但思路应该比较清晰）}

CODE

顺便把FWT全模板附在代码里了，可能与笔者自己的学习笔记有点出入，但无大碍。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN (1<<20|5)
#define LL long long
#define DB double
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
LL read() {
	LL f=1,x=0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
char readchar() {
	char s = getchar();while(s == ' ' || s == '\n') s = getchar();
	return s;
}
const int MOD = 998244353;
const int inv2 = 998244354/2;
int n,m,i,j,s,o,k;
//----------------------FWT start-------------------------
int qm(int a,int M) {return (a>M? a-M:a);}
void DWTOR(int *s,int n) {
	for(int k = 1;k < n;k <<= 1) {
		for(int j = 0;j < n;j += (k<<1)) {
			for(int i = j;i < j+k;i ++) {
				(s[i+k] += s[i]) %= MOD;
			}
		}
	}return ;
}
void IDWTOR(int *s,int n) {
	for(int k = n/2;k > 0;k >>= 1) {
		for(int j = 0;j < n;j += (k<<1)) {
			for(int i = j;i < j+k;i ++) {
				(s[i+k] += MOD-s[i]) %= MOD;
			}
		}
	}return ;
}

void DWTAND(int *s,int n) {
	for(int k = 1;k < n;k <<= 1) {
		for(int j = 0;j < n;j += (k<<1)) {
			for(int i = j;i < j+k;i ++) {
				(s[i] += s[i+k]) %= MOD;
			}
		}
	}return ;
}
void IDWTAND(int *s,int n) {
	for(int k = n/2;k > 0;k >>= 1) {
		for(int j = 0;j < n;j += (k<<1)) {
			for(int i = j;i < j+k;i ++) {
				(s[i] += MOD-s[i+k]) %= MOD;
			}
		}
	}return ;
}

void DWTXOR(int *s,int n) {
	for(int k = 1;k < n;k <<= 1) {
		for(int j = 0;j < n;j += (k<<1)) {
			for(int i = j;i < j+k;i ++) {
				int A = s[i],B = s[i+k];
				s[i] = qm((A + B) , MOD);
				s[i+k] = qm((A +MOD- B) , MOD);
			}
		}
	}return ;
}
void IDWTXOR(int *s,int n) {
	for(int k = n/2;k > 0;k >>= 1) {
		for(int j = 0;j < n;j += (k<<1)) {
			for(int i = j;i < j+k;i ++) {
				int A = s[i],B = s[i+k];
				s[i] = qm((A + B) , MOD) *1ll*inv2 % MOD;
				s[i+k] = qm((A +MOD- B) , MOD) *1ll*inv2 % MOD;
			}
		}
	}return ;
}
//----------------------FWT end---------------------------
int ct[MAXN],po[MAXN];
int A[21][MAXN],B[21][MAXN],C[21][MAXN];
int aa[MAXN],bb[MAXN],cc[MAXN];
int main() {
	n = read();m = (1<<n);
	po[0] = 1;
	for(int i = 1;i < m;i ++) {
		ct[i] = ct[i - lowbit(i)] + 1;
		po[i] = po[i - 1] * 1526ll % MOD;
	}
	for(int i = 0;i < m;i ++) A[ct[i]][i] = read()*(1ll<<ct[i]) % MOD;
	for(int i = 0;i < m;i ++) B[ct[i]][i] = read();
	for(int i = 0;i <= n;i ++) DWTXOR(A[i],m),DWTXOR(B[i],m);
	for(int i = 0;i <= n;i ++) {
		for(int j = i;j <= n;j ++) {
			for(int k = 0;k < m;k ++) {
				(C[i][k] += A[j-i][k] *1ll* B[j][k] % MOD) %= MOD;
			}
		}
		IDWTXOR(C[i],m);
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 0;i < m;i ++) {
		(ans += C[ct[i]][i] *1ll* po[i] % MOD) %= MOD;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}