LYK loves matrix （构造，同余）

题面

LYK 有一个 1×n 的非负整数数列 a 与 1×m 的非负整数数列 b。它打算将它们合并成一个 matrix。它合并的方式是这样的：
$$c_{i,j}=(a_i+b_j)\%MOD$$

那么 c 就成了一个 n×m 的 matrix。 然而 LYK 惊奇地发现当它构造完这个矩阵后，它忘了 a、b 与 MOD 具体的值。 LYK 打算告诉你矩阵 c，想让你还原出一开始的 a、b 与 MOD。如果可行，第一行输出 “YES”，并在接下来几行中输出 MOD，a 与 b 具体的值（输出任意一种合法解）。当然 LYK 可能故意坑你告诉了你错误的信息，此时你应当输出“NO”。

对于 10%的数据，LYK 在坑你。😃
对于另外 30%的数据 $c_{i,j}=a_i+b_j$。
对于另外 30%的数据 n,m<=7。
对于 100%的数据 n,m<=100，$c_{i,j}$ <= $10^9$。

题解

从这个核心式子入手：
$$c_{i,j}\equiv a_i+b_j(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}MOD)$$

我们从 c 中元素之间的关系推导一下：
$$\begin{array}{c}{c}_{i,j}\equiv a_i+b_j①\\ c_{i,k}\equiv a_i+b_k②\\ ①-②\Rightarrow c_{i,j}-c_{i,k}\equiv b_j-b_k\\ \Rightarrow b_j-b_{j-1}\equiv c_{1,j}-c_{1,j-1}\equiv c_{2,j}-c_{2,j-1}\\ \equiv \cdots \cdots \equiv c_{n,j}-c_{n,j-1}\end{array}$$

同理，
$$a_i-a_{i-1}\equiv c_{i,1}-c_{i-1,1}\equiv c_{i,2}-c_{i-1,2}\equiv \cdots \cdots \equiv c_{i,m}-c_{i-1,m}$$

那么，我们就可以先把 a 和 b 的差分数组（对 MOD 取模）求出来。

接下来分析一下怎么求差分数组。

以 a 数组的为例，对于 $a_i-a_{i-1}$ 我们可以得到很多个 $c_{i,j}-c_{i-1,j}$ ，而它们很可能是不同的，对于其中一对不同的 A、B（不妨设 A < B），有以下几种情况：

• $0<A<BorA<B<0$，由于 c 是取模后的，A 和 B 的绝对值肯定会小于 MOD，如果此时再同号的话，肯定 $A\equiv B$ 就不成立了，输出 NO 结束代码。
• $A<0,B>0$，这时 $A\equiv B$ 是有可能成立的，当且仅当 $MOD=B-A$，这样一来 $MOD>max(|A|,|B|),A+MOD=B$，符合条件。MOD 如果大于 B-A 则肯定不成立，MOD 如果小于 B-A ，那么最大为 (B-A)/2，小于等于 A 和 B 的绝对值，也不符合条件。如果先前已经通过这一条求出一个 MOD，且与这一次求的 MOD 不一样，那么无解，输出 NO 。
  出现这种情况后，MOD 就确定了！此时 $a_i-a_{i-1}$ 任取 A 或 B 都没问题，反正都同余了。
• $A=0<BorA<B=0$，此时一个是 MOD 的倍数，一个不是，是不可能同余的，输出 NO。

那么求完差分数组后还有解的话，要么 c 极其和谐，跟没取模似的，每个 $c_{i,j}-c_{i-1,j}$ 都一样，MOD 未知，此时相当于 MOD 是多少都不会影响结果了，令 MOD 等于 c 中最大的数 +1；要么出现过一个正一个负的情况，此时 MOD 已知。

可以证明，现在就一定有解了，因为 c 矩阵元素彼此之间的关系都处理出来了，只要知道 $a_1$ 和 $b_1$ ，保证其和为 $c_{1,1}$ ，那么就可以通过差分数组把所有元素都求出来，不会出现矛盾。

因此不妨令 $a_1=0,b_1=c_{1,1}$ 然后先把差分数组根据模数变成非负数，再构造出 a 和 b 就完了。

所以我们又证明了只要有解，就一定能构造出一个解满足 $a_1=0$ 或 $b_1=0$。

CODE

#include<map>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 105
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define DB double
#define ENDL putchar('\n')
#define eps 1e-5
LL read() {
	LL f = 1,x = 0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s == '-')f=-f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
int n,m,i,j,s,o,k,mod;
int Abs(int x) {return x < 0 ? -x:x;}
int c[MAXN][MAXN];
int da[MAXN],db[MAXN];
LL a[MAXN],b[MAXN];
int main() {
	freopen("matrix.in","r",stdin);
	freopen("matrix.out","w",stdout);
	mod = -1; // 表示未知
	n = read();
	m = read();
	int maxc = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		for(int j = 1;j <= m;j ++) {
			c[i][j] = read();
			maxc = max(maxc,c[i][j]);
			if(i > 1) {
				if(j == 1) da[i] = c[i][j] - c[i-1][j];
				else {
					int dt = c[i][j] - c[i-1][j];
					if(dt != da[i]) {
						if(dt *1ll* da[i] < 0) {
							if(mod == -1 || mod == Abs(dt-da[i])) mod = Abs(dt-da[i]);
							else {
								printf("NO\n");return 0;
							}
						}
						else {
							printf("NO\n");return 0;
						}
					}
				}
			}
		}
	}
	for(int j = 1;j <= m;j ++) {
		for(int i = 1;i <= n;i ++) {
			if(j > 1) {
				if(i == 1) db[j] = c[i][j] - c[i][j-1];
				else {
					int dt = c[i][j] - c[i][j-1];
					if(dt != db[j]) {
						if(dt *1ll* db[j] < 0) {
							if(mod == -1 || mod == Abs(dt-db[j])) mod = Abs(dt-db[j]);
							else {
								printf("NO\n");return 0;
							}
						}
						else {
							printf("NO\n");return 0;
						}
					}
				}
			}
		}
	}
	if(mod != -1 && mod <= maxc) {
		printf("NO\n"); return 0;
	}
	if(mod == -1) mod = maxc + 1;
	a[1] = 0; b[1] = c[1][1];
	for(int i = 2;i <= n;i ++) {
		a[i] = a[i-1] + (da[i]%mod+mod)%mod;
	}
	for(int i = 2;i <= m;i ++) {
		b[i] = b[i-1] + (db[i]%mod+mod)%mod;
	}
	for(int i = 1;i <= n;i ++) { // 傻傻地验证一下
		for(int j = 1;j <= m;j ++) {
			if((a[i]+b[j]) % mod != c[i][j]) {
				printf("NO\n"); return 0;
			}
		}
	}
	printf("YES\n%d\n",mod);
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		printf("%lld ",a[i]);
	}ENDL;
	for(int i = 1;i <= m;i ++) {
		printf("%lld ",b[i]);
	}ENDL;
	return 0;
}