ABC 203 F - Weed （DP）

ABC203F - Weed

题意转述

$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}$ 和 $\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{x}$ 正在下界($\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}$)玩音符盒($\mathrm{N}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{k}$)。$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}$ 和 $\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{x}$ 按下了按钮，听着各色音符被发光的红石线激活，感到无比欢乐。但是他们发现有的音符盒发不出声音，原因是被垂泪藤占据了上方的空气方块。于是 $\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}$ 和 $\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{x}$ 打算清除这些垂泪藤。他们是这样清除的：

• （为了有效地清除垂泪藤，他们打算到垂泪藤上方，挖掉它们上面的方块，除根）
• $\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}$ 先记下了其中至多 $K$ 条垂泪藤，上去挖掉了它们上面的方块，清除它们。
• $\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{x}$ 重复进行这样的操作，直到所有垂泪藤被清除完： 找到长度最大的一条未除掉的垂泪藤的长度 $H$ ，告诉 $\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}$ 所有未除掉的长度大于 $\frac{H}{2}$ 的垂泪藤的位置，然后让他除掉它们。

$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}$ 想让 $\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{x}$ 进行的操作次数最少，在这个前提下，自己一开始记忆的垂泪藤数($\le K$)尽可能少。但是一共有 $N(\le 2\cdot 10^5)$ 条长度 $h_i\le 10^9$ 的垂泪藤（有个强大的模组消除了高度限制），于是 $\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}$ 想先向你询问，满足他的要求的情况下，$\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{x}$ 进行的操作数和自己一开始记忆的垂泪藤数分别是多少。

题解

由于每次操作过后，最长的垂泪藤长度都至少会减半，因此，总操作数一定不会超过 $\log H_{max}+1=31$，那么我们就可以用一个简单的 $\mathrm{D}\mathrm{y}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 来解决这道题：

先把所有的垂泪藤按长度从小到大排序，令 $dp[i][j]$ 表示以第 $j$ 条垂泪藤为最长开始，进行了 $i$ 次操作后，清除的最大可能条数($dp[0][0]=0$)。有如下转移：
$$dp[i][j]=\underset{2h_k\le h_j}{\max }dp[i-1][k]+\sum _{2h_k>h_j,k\le j}1$$

这个可以通过预处理以及前缀和优化等方式达到 $O(1)$ 转移，也当然可以用滚动少掉一维。

如果找到了最小的 $i$ ，使得 $dp[i{]}_{max}\ge N-K$，那么就可以输出 $i$ 和 $N-dp[i{]}_{max}$ 了。

开头可以加个 $k=n$ 的特判。

CODE

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<map>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 200005
#define DB double
#define LL long long
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) ((-x) & (x))
#define INF 0x3f3f3f3f
LL read() {
	LL f=1,x=0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
int n,m,i,j,s,o,k;
int a[MAXN];
int dp[2][MAXN];
int main() {
	n = read();k = read();
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		a[i] = read();
	}
	if(k == n) {printf("0 %d\n",n);return 0;}
	sort(a + 1,a + 1 + n);
	int ans = 0;
	for(int i = 1;i <= 32;i ++) {
		int ad = 0,mx = 0;
		for(int j = 1;j <= n;j ++) {
			while(ad < n && a[ad+1] <= a[j]/2) mx = max(mx,dp[i&1^1][++ ad]);
			dp[i&1][j] = mx + (j-ad);
			ans = max(dp[i&1][j],ans);
		}
		if(ans >= n-k) {printf("%d %d\n",i,n-ans);return 0;}
	}
	return 0;
}