ABC209F. Deforestation——DP（、数学容斥）

题面

有 $n$ 棵树排成一排，每棵树高度为 $h_i(i\in [1,n])$ ，你现在要按照一个排列 $P$ 的顺序去砍树，每砍一棵树，这棵树的高度就会变成 $0$ ，也就是说，砍一棵树 $i$ 会使得 $h_i\to 0$ 。由于光头强的阻挠，你每次砍树的代价是当前这棵树相邻两棵树的高度加上这棵树的高度，即 $h_{i-1}+h_i+h_{i+1}$ 。

求有多少种不同的排列 $P$ 能保证总代价最小，取模 $998244353$。

$1\le n\le 4000,1\le h_i\le 10^9$ .

题解

我们把排列投射到这一排树上，每个位置记录自己被砍的次序 $p_i$ 。

那么除了自己被砍时被算进去的代价，额外代价（因砍伐邻居而付出的代价）就可以用 $p$ 来判断。对于每个 $i\in [1,n)$ ，若 $p_i<p_{i+1}$ ，则额外代价加上 $h_{i+1}$ ，若 $p_i>p_{i+1}$ 则额外代价加上 $h_i$ 。

现在我们看看，该怎么安排 $p_i$ ，使得总代价最小呢？

对于每个 $i\in [1,n)$ ，如果 $h_i<h_{i+1}$ ，那么限制 $p_i>p_{i+1}$ ；如果 $h_i>h_{i+1}$ ，那么限制 $p_i<p_{i+1}$ 。如果 $h_i=h_{i+1}$ ，相对大小无所谓了，不限制。这样下来，排列 $p$ 就能使得总代价最小，满足所有限制条件的排列 $p$ 的个数就是答案了。

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那么就是一个经典问题：限制一个排列 $p$ 相邻两位的大小关系，问总的排列个数。

如果是 $n\le 10^5$ 级别的数据，要用比较复杂难懂的容斥来做，假定一段同向，然后减去不合法。

可喜(惜)的是，这道题 $n\le 4000$ ，可以 $\Theta (n^2)$ 做。我们定义一个简单的 $\mathrm{D}\mathrm{P}$ ，令 $dp[i][j]$ 表示安排到第 $i$ 位，前面有 $j$ 个数比 $p_i$ 小的方案数。转移如下：

• $p_i>p_{i-1}$ ：$dp[i][j]={\sum }_{k=0}^{j-1}dp[i-1][k]$
• $p_i<p_{i-1}$ ：$dp[i][j]={\sum }_{k=j}^{i-2}dp[i-1][k]$
• $(\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{y})$ ：$dp[i][j]={\sum }_{k=0}^{i-2}dp[i-1][k]$

裸的前缀和优化，复杂度 $\Theta (n^2)$ 。

CODE

#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 4005
#define LL long long
#define DB double
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define ENDL putchar('\n')
LL read() {
	LL f=1,x=0; char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s == '-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10 + (s-'0');s = getchar();}
	return x * f;
}
const int MOD = 1000000007;
int n,m,i,j,s,o,k;
int a[MAXN];
int dp[MAXN][MAXN];
int sum[MAXN][MAXN],suf[MAXN][MAXN];
int main() {
	n = read();
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		a[i] = read();
	}
	dp[0][0] = 1;
	sum[0][0] = suf[0][0] = 1;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		for(int j = 0;j < i;j ++) {
			if(a[i] > a[i-1]) {
				dp[i][j] = suf[i-1][j];
			}
			else if(a[i] < a[i-1]) {
				if(j > 0) dp[i][j] = sum[i-1][j-1];
			}
			else dp[i][j] = suf[i-1][0];
		}
		sum[i][0] = dp[i][0];
		suf[i][i-1] = dp[i][i-1];
		for(int j = 1;j < i;j ++) sum[i][j] = (sum[i][j-1] + dp[i][j]) % MOD;
		for(int j = i-2;j >= 0;j --) suf[i][j] = (suf[i][j+1] + dp[i][j]) % MOD;
	}
	int ans = suf[n][0];
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}