CF1450E 资本主义Capitalism（差分约束）

题面

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没有永远的朋友，只有永远的利益

在这个黑漆漆的社会上，有 $n$ 个布衣百姓，他们在利益驱使下成为金钱的奴隶，看不到属于生活的阳光。在茫茫奔途中，他们相互扶持，结交了有 $m$ 对朋友关系。

奈何这是个资本主义社会，虽然这 $n$ 个人没有人失业，每个人分别有 $a_i$ 的月薪，但是如果两个人 $i,j$ 满足 $a_j=a_i+1$ ，也就是说 $j$ 的月薪刚好比 $i$ 的大 1，那么 $i$ 就会觊觎 $j$ 的成功。

每一对朋友关系中，总有一个人觊觎另一个人，明里交好，暗里嫉妒。

这个社会的收入不平等度定义为 $\max a_i-\min a_i$ 。目前已知所有的朋友关系，和部分朋友关系中的嫉妒方向，以及一个范围： $0\le a_i\le 10^6$ 。没错，在利益驱使的剥削下，有的人的月薪可以达到 0 。事实上，这算比较幸运的。

也就是你，看透了这个社会的弊病，大呼着“生活万岁”，把迷茫走失的人们拉回正轨。为了详细地了解这个社会，你打算：求出最大可能的收入不平等度，以及此时可能的每个人的月薪是多少。可能无解。

$1\le n\le 200,n-1\le m\le 2000$ .

输入

第一行两个数 $n,m$。

接下来 $m$ 行，每行三个数 $i,j,b$ ，表示 $i,j$ 之间有朋友关系。$b\in \{0,1\}$ ，如果 $b=1$ ，则 $i$ 是嫉妒 $j$ 的（$a_j=a_i+1$），如果 $b=0$ ，则两个人的嫉妒方向不确定。

保证不存在重复的 $(i,j)$，假设每个朋友关系是条无向边，那么这保证是个连通图。

题解

正解是差分约束，想不到？其实应该比较明显的，反正我想不到。

两种情况，两种连边：

• $b=1$ ：是一个相等关系 $a_j=a_i+1$ ，我们把它拆成 $a_j\le a_i+1$ 和 $a_i\le a_j-1$ 。
• $b=0$ ：即 $|a_i-a_j|=1$ ，姑且先把它看作 $|a_i-a_j|\le 1$ ，然后转化为 $a_j\le a_i+1$ 和 $a_i\le a_j+1$ 。

然后跑 $\mathrm{F}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{y}\mathrm{d}$ ，如果任意一个 $f_{i,i}<0$ ，说明有负环，则无解。

接下来找一个起点 $i$ ，使得在满足 $\forall (u,v)\in E,f_{i,u}\ne f_{i,v}$ 以及 $\forall j\in [1,n],f_{i,j}\ge 0$ 的前提下，$\max f_{i,...}-\min f_{i,...}$ 最大。如果找不到这样的 $i$ 则无解。找到这个 $i$ 后，就令 $a_j=f_{i,j}$ 就是了。

最后对于第二种连边，有的人可能会问，没有强制不相等的情况下差分约束，会不会漏掉一些合法情况？实际上不会，如果存在一种情况使得 $f_{i,u}\ne f_{i,v}$ 的话，由于差分约束的性质，因为我们没有连 0 边，一定能使其中一个更小。

CODE

#include<map>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 205
#define ENDL putchar('\n')
#define LL long long
#define DB double
#define lowbit(x) ((-x) & (x))
LL read() {
	LL f = 1,x = 0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
int n,m,i,j,s,o,k;
int ed[MAXN][MAXN];
int g[MAXN][MAXN];
int main() {
	n = read();m = read();
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		for(int j = 1;j <= n;j ++) g[i][j] = 1000000;
		g[i][i] = 0;
	}
	for(int i = 1;i <= m;i ++) {
		s = read();o = read();k = read();
		if(k == 1) { // ai = aj-1 , aj <= ai+1 ^ ai <= aj-1
			g[s][o] = 1; g[o][s] = -1;
		}
		else { // ai <= aj+1 ^ aj <= ai+1
			g[s][o] = 1; g[o][s] = 1;
		}
		ed[s][o] = ed[o][s] = 1;
	}
	for(int k = 1;k <= n;k ++) {
		for(int i = 1;i <= n;i ++) {
			for(int j = 1;j <= n;j ++) {
				g[i][j] = min(g[i][j],g[i][k] + g[k][j]);
			}
		}
	}
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		if(g[i][i] < 0) {
			printf("NO\n");return 0;
		}
	}
	int as = 0,ans = -1;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		bool flag = 1;
		for(int s = 1;s <= n;s ++) {
			for(int o = 1;o <= n;o ++) {
				if(ed[s][o] && g[i][s] == g[i][o]) flag = 0;
			}
		}
		if(!flag) continue;
		int mi = 1000000,ma = 0;
		for(int j = 1;j <= n;j ++) {
			mi = min(mi,g[i][j]);
			ma = max(ma,g[i][j]);
		}
		if(mi < 0) continue;
		if(ans < ma-mi) {
			ans = ma-mi; as = i;
		}
	}
	if(!as) {printf("NO\n");return 0;}
	printf("YES\n%d\n",ans);
	for(int i = 1;i <= n;i ++) printf("%d ",g[as][i]);ENDL;
	return 0;
}