座位安排（容斥）

题面

有一张圆形的餐桌，这张餐桌有 $2n$ 个座位。现在有 $n$ 对夫妻就坐，要求男士和女士隔位就坐，并且每对夫妻不能相邻，求安排座位的方案数。

答案可能很大，请对 $998244353$ 取模。

$3\le n\le 1e5$.

样例输入

3

样例输出

2

样例解释

对于 $3$ 对夫妻就坐的情况，安排座位的方案如下图所示：

题解

我们先强制把某个女士认为是序列头，然后拆环成链，只需要把最终答案数除以 $n$ 就行。

我们想想，毫无限制的座位安排有多少种？ $(n!{)}^2$ ，分别任意安排男士和女士。

然后，我们来容斥。我们把每对夫妻坐一起看作是一个条件，那么先打出“板子”：
$$\sum _{i=0}^n(-1{)}^i...$$

右边表示限定某 $\mathtt{i}$ 个条件满足的方案数，注意不是“有” $i$ 个条件，因为这样办不到。

对于每个 $i$ ，我们首先得选出这么 $i$ 对夫妻，然后他们之间有相对顺序，用阶乘：
$$\sum _{i=0}^n(-1{)}^i\cdot i!\cdot C(n,i)...$$

难点来了，把这 $i$ 对夫妻安排在这个圆上，有两种情况：

• # ♂♀ ### ♀♂ ##...## ：没有夫妻跨越首尾，那么就相当于在序列上选择 $i$ 段长度为 $2$ 的不相交子串，我们把序列长度减去 $i$ ，又等价于在序列中朴素地选 $i$ 个位置了，因此方案数为 $C(2n-i,i)$ 。
• ♀ #### ♂♀ ###...# ♂ ：有一对夫妻在首尾相邻，我们把他们从首尾去除掉，那么就变成了长度减 $2$ 、总夫妻数为 $i-1$ 的上面那个问题了，方案数为 $C(2n-i-1,i-1)$ 。

因此，把这两者相加：
$$\sum _{i=0}^n(-1{)}^i\cdot i!\cdot C(n,i)\cdot (C(2n-i,i)+C(2n-i-1,i-1))...$$

剩下的没被选的男士女士们分别随便排，答案就是：
$$\sum _{i=0}^n(-1{)}^i\cdot i!\cdot C(n,i)\cdot (C(2n-i,i)+C(2n-i-1,i-1))\cdot ((n-i)!{)}^2$$

最后别忘除以 $n$ 。

预处理阶乘法求组合数，再枚举，时间复杂度 $O(n)$ 。

CODE

#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 100005
#define LL long long
#define DB double
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define FI first
#define SE second
LL read() {
	LL f=1,x=0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f*x;
}
void putpos(LL x) {
	if(!x) return ;
	putpos(x/10); putchar('0'+(x%10));
}
void putnum(LL x) {
	if(!x) putchar('0');
	else if(x < 0) putchar('-'),putpos(-x);
	else putpos(x);
}
const int MOD = 998244353;
int n,m,s,o,k;
int fac[MAXN<<2],inv[MAXN<<2],invf[MAXN<<2];
int C(int n,int m) {
	if(m < 0 || m > n) return 0;
	return fac[n] *1ll* invf[n-m] % MOD *1ll* invf[m] % MOD;
}
int main() {
	n = read();
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=invf[0]=invf[1]=1;
	for(int i = 2;i <= n*3;i ++) {
		fac[i] = fac[i-1]*1ll*i % MOD;
		inv[i] = (MOD-inv[MOD%i]) *1ll* (MOD/i) % MOD;
		invf[i] = invf[i-1] *1ll* inv[i] % MOD;
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 0;i <= n;i ++) {
		int as = (C(2*n-i,i)+C(2*n-1-i,i-1)) % MOD *1ll* C(n,i) % MOD *1ll* fac[i] % MOD *1ll* fac[n-i] % MOD *1ll* fac[n-i] % MOD;
		(ans += ((i&1) ? (MOD-1):1) *1ll* as % MOD) %= MOD;
	}
	ans = ans *1ll* inv[n] % MOD;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}