LOJ6029「雅礼集训 2017 Day1」市场 (线段树)
题面
从前有一个学校,在 O n e I n D a r k \rm OneInDark OneInDark 到任之前风气都是非常良好的,自从他来了之后,发布了一系列奇怪的要求,挟制了整个学校,导致风气的衰落。
有 n n n 个班级,从 0 ∼ n − 1 0\sim n-1 0∼n−1 编号,每个班级的学生人数上限是 a i a_i ai。有两种要求;同时,校长助理别里手魔 H a n d I n D e v i l HandInDevil HandInDevil 想要了解实时的信息,有两种询问方式:
- (要求) l , r , c l,r,c l,r,c,对于 i ∈ [ l , r ] , a i ← a i + c i\in[l,r],a_i\leftarrow a_i+c i∈[l,r],ai←ai+c
- (要求) l , r , d l,r,d l,r,d,对于 i ∈ [ l , r ] , a i ← ⌊ a i d ⌋ i\in[l,r],a_i\leftarrow \left\lfloor\frac{a_i}{d}\right\rfloor i∈[l,r],ai←⌊dai⌋
- (询问)给定 l , r l,r l,r,求 min i ∈ [ l , r ] a i \min_{i\in[l,r]}a_i mini∈[l,r]ai
- (询问)给定 l , r l,r l,r,求 ∑ i ∈ [ l , r ] a i \sum_{i\in[l,r]}a_i ∑i∈[l,r]ai
输入格式
第一行为两个空格隔开的整数
n
,
q
n,q
n,q 分别表示班级个数和要求 + 询问个数。
第二行包含
n
n
n 个由空格隔开的整数
a
0
∼
a
n
−
1
a_0\sim a_{n-1}
a0∼an−1
接下来
q
q
q 行,每行表示一个操作,第一个数表示操作编号
1
∼
4
1\sim4
1∼4,接下来的输入和问题描述一致。
输出格式
对于每个 3 , 4 3,4 3,4 操作,输出询问答案。
数据范围与提示
对于 100 % 100\% 100% 的数据, 1 ≤ n , q ≤ 1 0 5 , 0 ≤ l ≤ r ≤ n − 1 , c ∈ [ − 1 0 4 , 1 0 4 ] , d ∈ [ 2 , 1 0 9 ] 1\leq n,q\leq 10^5,0\leq l\leq r\leq n-1,c\in[-10^4,10^4],d\in[2,10^9] 1≤n,q≤105,0≤l≤r≤n−1,c∈[−104,104],d∈[2,109]
题解
是一道运用运算规律的题。
操作有区间加区间除,要维护区间和以及区间最小值。最难办的是区间除。
我们会发现,两个数同时除以大于 1 的数,他们的差会在大约 log \log log 次运算后 ≤ 1 \leq 1 ≤1。因为下取整的原因,变为零很难做到,但是变为 1 可以很快。
如果一个区间最大值和最小值的差大于 1,那么就暴力递归下去,递归直到单点进行区间除,或者递归遇到一个极差小于等于 1 的区间时,进行下一步操作:
- 如果极差为 0 ,那么就是一个区间赋值了。
- 如果极差为 1,分情况讨论:若最大值和最小值除后下取整相等,那也是区间赋值,否则一定是最大值仍比最小值大 1 ,变化量相等,相当于区间加减。
我们在线段树上用 a x + b ax+b ax+b 的形式表示懒标记,可以同时解决区间赋值和区间加减。
时间复杂度 O ( n log 2 n ) \rm O(n\log^{_2}n) O(nlog2n) 。可以感性理解复杂度,也可以势能分析。
CODE
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 100005
#define LL long long
#define DB double
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define FI first
#define SE second
#define eps (1e-4)
#define BI bitset<MAXN>
LL read() {
LL f=1,x=0;char s = getchar();
while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
return f*x;
}
void putpos(LL x) {
if(!x) return ;
putpos(x/10); putchar('0'+(x%10));
}
void putnum(LL x) {
if(!x) putchar('0');
else if(x < 0) putchar('-'),putpos(-x);
else putpos(x);
}
inline void AIput(LL x,char c) {
putnum(x); putchar(c);
}
int n,m,s,o,k;
int A[MAXN];
struct it{
LL s,lza,lzb,le;
LL ma,mi;
it(){s=le=0;lza=1;lzb=0;ma=mi=0;}
it(LL nm) {
s=ma=mi=nm; lza=1;lzb=0; le=1;
}
}tre[MAXN<<2];
void update(int a) {
int ls = a<<1,rs = a<<1|1;
tre[a].s = tre[ls].s + tre[rs].s;
tre[a].ma = max(tre[ls].ma,tre[rs].ma);
tre[a].mi = min(tre[ls].mi,tre[rs].mi);
tre[a].le = tre[ls].le + tre[rs].le;
return ;
}
void maketree(int a,int l,int r) {
tre[a] = it();
if(l == r) {
tre[a].s = A[l]; tre[a].le = 1;
tre[a].ma = tre[a].mi = A[l];
return ;
}
else {
int mid = (l + r) >> 1;
maketree(a<<1,l,mid); maketree(a<<1|1,mid+1,r);
update(a);
}return ;
}
void adda(int a,LL m,LL k) {
tre[a].s *= m;
tre[a].s += k*1ll*tre[a].le;
tre[a].ma *= m; tre[a].mi *= m;
tre[a].ma += k; tre[a].mi += k;
tre[a].lza *= m; tre[a].lzb *= m;
tre[a].lzb += k; return ;
}
void seta(int a,LL k) {
tre[a].s = k*1ll*tre[a].le;
tre[a].ma = tre[a].mi = k;
tre[a].lza = 0; tre[a].lzb = k; return ;
}
void sdiva(int a,LL k) {
LL Mx = tre[a].ma,Mi = tre[a].mi;
if(Mx > Mi+1) return ;
if(floor((DB)Mx/k) == floor((DB)Mi/k)) {
seta(a,floor((DB)Mx/k));
}
else {
LL mut = Mx - floor((DB)Mx/k);
adda(a,1,-mut);
}return ;
}
void pushdown(int a) {
if(tre[a].lza != 1 || tre[a].lzb != 0) {
adda(a<<1,tre[a].lza,tre[a].lzb);
adda(a<<1|1,tre[a].lza,tre[a].lzb);
tre[a].lza = 1; tre[a].lzb = 0;
}return ;
}
void addtree(int a,int l,int r,int al,int ar,LL c) {
if(l > r || al > r || ar < l) return ;
if(al >= l && ar <= r) {
adda(a,1,c); return ;
}
int mid = (al + ar) >> 1;
pushdown(a);
addtree(a<<1,l,r,al,mid,c);addtree(a<<1|1,l,r,mid+1,ar,c);
update(a); return ;
}
void divtree(int a,int l,int r,int al,int ar,LL d) {
if(l > r || al > r || ar < l) return ;
if(al >= l && ar <= r && tre[a].ma <= tre[a].mi+1) {
sdiva(a,d); return ;
}
if(al == ar) {
tre[a] = it(floor((DB)tre[a].s/d)); return ;
}
int mid = (al + ar) >> 1;
pushdown(a);
divtree(a<<1,l,r,al,mid,d); divtree(a<<1|1,l,r,mid+1,ar,d);
update(a); return ;
}
LL mintree(int a,int l,int r,int al,int ar) {
if(l > r || al > r || ar < l) return (LL)1e18;
if(al >= l && ar <= r) return tre[a].mi;
int mid = (al + ar) >> 1;pushdown(a);
return min(mintree(a<<1,l,r,al,mid),mintree(a<<1|1,l,r,mid+1,ar));
}
LL sumtree(int a,int l,int r,int al,int ar) {
if(l > r || al > r || ar < l) return 0;
if(al >= l && ar <= r) return tre[a].s;
int mid = (al + ar) >> 1;pushdown(a);
return sumtree(a<<1,l,r,al,mid) + sumtree(a<<1|1,l,r,mid+1,ar);
}
int main() {
n = read();m = read();
for(int i = 1;i <= n;i ++) {
A[i] = read();
}
maketree(1,1,n);
while(m --) {
k = read();
s = read()+1;o = read()+1;
if(k == 1) {
k = read();
addtree(1,s,o,1,n,k);
}
else if(k == 2) {
k = read();
divtree(1,s,o,1,n,k);
}
else if(k == 3) {
AIput(mintree(1,s,o,1,n),'\n');
}
else AIput(sumtree(1,s,o,1,n),'\n');
}
return 0;
}