简单题（数论）

同一道题：小狗狗也AK了！

题面

两个长度为 $K$ 的正整数数列 $a$ 和 $b$，满足 ${\sum }_{i=1}^K{a}_i=N,{\sum }_{i=1}^K{b}_i=M$，对于这两个数列，定义权值为 $P={\prod }_{i=1}^K\min (a_i,b_i)$ 。求所有可能的数列的权值之和。答案对 $998244353$ 取模。

$T$ 组数据，每组数据给出 $N,M,K$ 。

$T\le 100,1\le N,M,K\le 5\times 10^5,K\le \min (N,M)$ 。

题解

做一个转换：『权值』即为长度为 $K$ 的正整数数列 $c$ 的数量，满足 $\forall i\in [1,K],c_i\le a_i,c_i\le b_i$ 。

我们反向求，先求 $c$ 的数量，再求与之对应的 $(a,b)$ 方案数。

假设我们确定了 $c$，我们可以令 $a_i=a_i-c_i,b_i=b_i-c_i$ ，然后 $a,b$ 就成了长度为 K、总和分别为 $N-\sum c_i$、$M-\sum c_i$ 的自然数数列 。

因此，枚举 $x=\sum c_i$ ，对应的 $c$ 的数量为 $C(x-1,K-1)$ ，$a$ 的数量为 $C(M-x-1+K,K-1)$， $b$ 的数量为 $C(M-x-1+K,K-1)$ 。

于是，答案为
$$\sum _{x=K}^{\min (N,M)}C(x-1,K-1)\cdot C(M-x-1+K,K-1)\cdot C(M-x-1+K,K-1)$$

CODE

很快啊

#include<map>
#include<set>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 500005
#define LL long long
#define DB double
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) (-(x):(x))
#define SI(x) set<x>::iterator
#define FI first
#define SE second
LL read() {
	LL f=1,x=0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
void putpos(LL x) {
	if(!x) return ;
	putpos(x/10); putchar('0'+(x%10));
}
void putnum(LL x) {
	if(!x) {putchar('0');return ;}
	if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
	putpos(x);
}
void AIput(LL x,char c) {putnum(x);putchar(c);}

const int MOD = 998244353;
int n,m,s,o,k;
int fac[MAXN<<1],inv[MAXN<<1],invf[MAXN<<1];
int C(int n,int m) {
	if(m < 0 || m > n) return 0;
	return fac[n] *1ll* invf[n-m] % MOD * invf[m] % MOD;
}
int main() {
	freopen("easy.in","r",stdin);
	freopen("easy.out","w",stdout);
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=invf[0]=invf[1]=1;
	for(int i = 2;i <= MAXN*2-5;i ++) {
		fac[i] = fac[i-1] *1ll* i % MOD;
		inv[i] = (MOD - inv[MOD%i]) *1ll* (MOD/i) % MOD;
		invf[i] = invf[i-1] *1ll* inv[i] % MOD;
	}
	
	int T = read();
	while(T --) {
		n = read();m = read();k = read();
		if(n > m) swap(n,m);
		int ans = 0;
		for(int i = k;i <= n;i ++) {
			int bs = C(i-1,k-1);
			int ct = C(n-i-1+k,k-1) *1ll* C(m-i-1+k,k-1) % MOD;
			(ans += bs*1ll*ct % MOD) %= MOD;
		}
		AIput(ans,'\n');
	}
	return 0;
}