UOJ#XX A+B Problem （罔烙硫）

题面

🔗

背景

在这里插入图片描述

题目描述

从前有个 $n$ 个方格排成一行，从左至右依此编号为 $1, 2, \dots, n$ 。

有一天思考熊想给这 $n$ 个方格染上黑白两色。

第 $i$ 个方格上有 $6$ 个属性： $a_i,b_i,w_i,l_i,r_i,p_i$ 。

如果方格 $i$ 染成黑色就会获得 $b_i$ 的好看度。

如果方格 $i$ 染成白色就会获得 $w_i$ 的好看度。

但是太多了黑色就不好看了。如果方格 $i$ 是黑色，并且存在一个 $j$ 使得 $1 \leq j < i$ 且 $l_i≤a_j≤r_i$ 且方格 $j$ 为白色，那么方格 $i$ 就被称为奇怪的方格。

如果方格 $i$ 是奇怪的方格，就会使总好看度减少 $p_i$ 。

也就是说对于一个染色方案，好看度为：
$∑_\text{方格 i 为黑色}b_i+∑_\text{方格 i 为白色}w_i−∑_\text{方格 i 为奇怪的方格}p_i$

现在给你 $n, a, b, w, l, r, p$ ，问所有染色方案中最大的好看度是多少。

数据范围

设 $a_{max}$ 为 $a, l, r$ 中的最大值， $v_{max}$ 为 $b, w$ 中的最大值, $p_{max}$ 为 $p$ 中的最大值。

测试点编号	$n$	$a_{max}$	$v_{max}$	$p_{max}$
$1$	$= 5$	$\leq 10$	$\leq 10$	$\leq 10$
$2$	$= 20$	$\leq 40$	$\leq 40$	$\leq 40$
$3$	$= 20$	$\leq 40$	$\leq 40$	$\leq 40$
$4$	$= 5000$	$\leq 10$	$\leq 200000$	$\leq 100000$
$5$	$= 5000$	$\leq 10$	$\leq 200000$	$\leq 300000$
$6$	$= 200$	$\leq 109$	$\leq 200000$	$\leq 200000$
$7$	$= 300$	$\leq 109$	$\leq 200000$	$\leq 220000$
$8$	$= 500$	$\leq 109$	$\leq 200000$	$\leq 400000$
$9$	$= 5000$	$\leq 5000$	$\leq 200000$	$\leq 150000$
$10$	$= 5000$	$\leq 109$	$\leq 200000$	$\leq 300000$

$\tt 2\,s~~,~~48\,MB$

题解

最大的好看度，可以转化为：总好看度（含 b,w） - 最小损失好看度（含 b,w,p）

于是，可以用网络流最小割解决“最小损失好看度”的问题。

令 $S, T$ 为源点、汇点， $S$ 部表示涂黑色， $T$ 部表示涂白色。
我们把每个点 $i$ 连两条边： $S\rightarrow i$ （边权为 $b_i$ ，若保留，则表示 $i$ 涂黑色）， $i\rightarrow T$ （边权为 $w_i$ ，若保留，则表示 $i$ 涂白色）。
对于每个 $i$ ，新建一个点 $i^{'}$ ，与每个满足 $1\leq j<i,l_i\leq a_j\leq r_i$ 的 $j$ 连一条边 $i'\rightarrow j$ （边权为 $+\infty$ ），然后连一条边 $i\rightarrow i'$ （边权为 $p_i$ ），这样，如果所有的 $j$ 有任意一个是白色（ $j\rightarrow T$ 保留），为了使 $S, T$ 不可达，就必须保留 $i\rightarrow T$ 断掉 $S\rightarrow i$ （选白色），或者保留 $S\rightarrow i$ 断掉 $i\rightarrow i'$ （选黑色，但是多付出 $p_i$ 的代价）。

虽然建图可以随便完成，但是边的数量太多，不仅空间存不下（48 Mb），而且最大流会超时。

于是我们可以优化建图。

我们建立新点 $i^{'}$ 的目的，其实是要使得存在这么一个点，通过若干容量为无穷的边，可以只到达所有符合 $1\leq j<i,l_i\leq a_j\leq r_i$ 的 $j$ 。但是，不同的 $i^{'}$ ，可能连向一大批相同的 $j$ ， $j$ 和 $a_j$ 都是连续在一个范围内的。

线段树优化建图

瞎扯了这么多，我也不绕弯了，用线段树优化建图。每次的 $i^{'}$ 只需要连向线段树上的某些（log的数量级）区间点，每个父亲向左右儿子连容量无穷的边，每个叶子向 $a_j$ 等于某一值的所有 $j$ 连容量无穷的边。

有两个条件， $1\leq j<i$ 和 $l_i\leq a_j\leq r_i$ ，难道要树套树？

其实只用可持久化线段树就行了。

分块优化建图

$n\leq 5000$ ，貌似有点小？根号和 log 差不太多啊。

可持久化分块，何如？每次只用新建 1~2 个点，边数也不用如此繁多。

实际上比线段树优秀得多：
在这里插入图片描述

CODE

线段树

#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 5005
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define UI unsigned int
#define DB double
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define FI first
#define SE second
#define eps (1e-4)
#define SI(x) set<x>::iterator
#define MI map<int,int>::iterator
#define SQ 51
//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize(3)
//#pragma GCC optimize("Ofast")
LL read() {
	LL f=1,x=0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f*x;
}
void putpos(LL x) {
	if(!x) return ;
	putpos(x/10); putchar('0'+(x%10));
}
void putnum(LL x) {
	if(!x) putchar('0');
	else if(x < 0) putchar('-'),putpos(-x);
	else putpos(x);
}
void AIput(LL x,char c) {putnum(x);putchar(c);}

int n,m,s,o,k;
int cnp,hd[MAXN*200],S,T;
int v[MAXN*400],nx[MAXN*400],rev[MAXN*400],cne;
LL w[MAXN*400];
int ins(int x,int y,LL k) {
	if(!x || !y) return 0;
	nx[++ cne] = hd[x];v[cne] = y;w[cne] = k;hd[x] = cne;
	nx[++ cne] = hd[y];v[cne] = x;w[cne] = 0;hd[y] = cne;
	rev[cne] = cne-1; rev[cne-1] = cne; return cne-1;
}
int hd2[MAXN*200],d[MAXN*200];
bool bfs(int S,int T) {
	for(int i = 1;i <= cnp;i ++) {
		hd2[i] = hd[i]; d[i] = -1;
	}
	queue<int> b;
	d[S] = 0;
	b.push(S);
	while(!b.empty()) {
		int t = b.front();b.pop();
		if(t == T) return 1;
		for(int i = hd[t];i;i = nx[i]) {
			if(d[v[i]] < 0 && w[i] > 0) {
				d[v[i]] = d[t] + 1;
				b.push(v[i]);
			}
		}
	}
	return 0;
}
LL dfs(int x,LL flow) {
	if(x == T) return flow;
	LL res = 0;
	for(int i = hd2[x];i;i = nx[i]) {
		if(d[v[i]] == d[x] + 1 && w[i] > 0) {
			LL mx = dfs(v[i],min(flow-res,w[i]));
			res += mx; w[i] -= mx; w[rev[i]] += mx;
			if(res == flow) break;
		}
		hd2[x] = nx[i];
	}
	return res;
}
LL dinic(int S,int T) {
	LL ans = 0;
	while(bfs(S,T)) {
		ans += dfs(S,(LL)1e18);
	}return ans;
}

int A[MAXN],bk[MAXN],we[MAXN],ll[MAXN],rr[MAXN],P[MAXN];
int ar[MAXN];
int tre[MAXN<<2],M;
void maketree(int n) {
	M=1;while(M<n+2)M<<=1;
}
void addtree(int x,int y) {
	int s=M+x;ins(++ cnp,tre[s],(LL)1e18);
	tre[s] = cnp;ins(tre[s],y,(LL)1e18);s >>= 1;
	while(s) {
		tre[s] = ++ cnp;
		ins(tre[s],tre[s<<1],(LL)1e18);
		ins(tre[s],tre[s<<1|1],(LL)1e18);
		s >>= 1;
	}return ;
}
int buildp(int l,int r) {
	int p = ++ cnp;
	int s = M+l-1,t = M+r+1;
	while(s || t) {
		if((s>>1) ^ (t>>1)) {
			if(!(s&1)) ins(p,tre[s^1],(LL)1e18);
			if(t & 1) ins(p,tre[t^1],(LL)1e18);
		}else break;
		s >>= 1;t >>= 1;
	}return p;
}
int main() {
	n = read();
	cnp = n+2; S = n+1; T = n+2;
	LL ans = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		A[i] = read(); ar[i] = A[i];
		bk[i] = read(); we[i] = read();
		ll[i] = read(); rr[i] = read();
		P[i] = read();
		ins(S,i,bk[i]); ins(i,T,we[i]);
		ans += we[i]+bk[i];
	}
	sort(ar + 1,ar + 1 + n);
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		A[i] = lower_bound(ar + 1,ar + 1 + n,A[i]) - ar;
		ll[i] = lower_bound(ar + 1,ar + 1 + n,ll[i]) - ar;
		rr[i] = lower_bound(ar + 1,ar + 1 + n,rr[i]+1) - ar - 1;
	}
	maketree(n);
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		int p = buildp(ll[i],rr[i]);
		ins(i,p,P[i]);
		
		addtree(A[i],i);
	}
	ans -= dinic(S,T);
	AIput(ans,'\n');
//	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
//		printf("%d(%d): ",i,A[i]);
//		if(w[fr[i]] > 0) {
//			printf("black");
//		}
//		else printf("white");
//		printf("   [%d,%d]\n",ll[i],rr[i]);
//	}
	return 0;
}

分块

#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 5005
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define UI unsigned int
#define DB double
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define FI first
#define SE second
#define eps (1e-4)
#define SI(x) set<x>::iterator
#define MI map<int,int>::iterator
#define SQ 51
//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize(3)
//#pragma GCC optimize("Ofast")
LL read() {
	LL f=1,x=0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f*x;
}
void putpos(LL x) {
	if(!x) return ;
	putpos(x/10); putchar('0'+(x%10));
}
void putnum(LL x) {
	if(!x) putchar('0');
	else if(x < 0) putchar('-'),putpos(-x);
	else putpos(x);
}
void AIput(LL x,char c) {putnum(x);putchar(c);}

int n,m,s,o,k;
int cnp,hd[MAXN*200],S,T;
int v[MAXN*400],nx[MAXN*400],rev[MAXN*400],cne;
LL w[MAXN*400];
int ins(int x,int y,LL k) {
	if(!x || !y) return 0;
	nx[++ cne] = hd[x];v[cne] = y;w[cne] = k;hd[x] = cne;
	nx[++ cne] = hd[y];v[cne] = x;w[cne] = 0;hd[y] = cne;
	rev[cne] = cne-1; rev[cne-1] = cne; return cne-1;
}
int hd2[MAXN*200],d[MAXN*200];
bool bfs(int S,int T) {
	for(int i = 1;i <= cnp;i ++) {
		hd2[i] = hd[i]; d[i] = -1;
	}
	queue<int> b;
	d[S] = 0;
	b.push(S);
	while(!b.empty()) {
		int t = b.front();b.pop();
		if(t == T) return 1;
		for(int i = hd[t];i;i = nx[i]) {
			if(d[v[i]] < 0 && w[i] > 0) {
				d[v[i]] = d[t] + 1;
				b.push(v[i]);
			}
		}
	}
	return 0;
}
LL dfs(int x,LL flow) {
	if(x == T) return flow;
	LL res = 0;
	for(int i = hd2[x];i;i = nx[i]) {
		if(d[v[i]] == d[x] + 1 && w[i] > 0) {
			LL mx = dfs(v[i],min(flow-res,w[i]));
			res += mx; w[i] -= mx; w[rev[i]] += mx;
			if(res == flow) break;
		}
		hd2[x] = nx[i];
	}
	return res;
}
LL dinic(int S,int T) {
	LL ans = 0;
	while(bfs(S,T)) {
		ans += dfs(S,(LL)1e18);
	}return ans;
}

int bl[MAXN],cnb,tt[MAXN];
int A[MAXN],bk[MAXN],we[MAXN],ll[MAXN],rr[MAXN],P[MAXN];
int ar[MAXN];
int buildp(int l,int r) {
	int s = l/SQ+1,t = r/SQ+1;
	int p = ++ cnp;
	if(s == t) {
		for(int i = l;i <= r;i ++) ins(p,tt[i],(LL)1e18);
	}
	else {
		for(int i = l;(i/SQ+1) == s;i ++) ins(p,tt[i],(LL)1e18);
		for(int i = r;(i/SQ+1) == t;i --) ins(p,tt[i],(LL)1e18);
		for(int i = s+1;i < t;i ++) {
			ins(p,bl[i],(LL)1e18);
		}
	}return p;
}
int main() {
	n = read();
	cnp = n+2; S = n+1; T = n+2;
	LL ans = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		A[i] = read(); ar[i] = A[i];
		bk[i] = read(); we[i] = read();
		ll[i] = read(); rr[i] = read();
		P[i] = read();
		ins(S,i,bk[i]); ins(i,T,we[i]);
		ans += we[i]+bk[i];
	}
	sort(ar + 1,ar + 1 + n);
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		A[i] = lower_bound(ar + 1,ar + 1 + n,A[i]) - ar;
		ll[i] = lower_bound(ar + 1,ar + 1 + n,ll[i]) - ar;
		rr[i] = lower_bound(ar + 1,ar + 1 + n,rr[i]+1) - ar - 1;
	}
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		int p = buildp(ll[i],rr[i]);
		ins(i,p,P[i]);
		
		int B = A[i]/SQ+1; cnb = max(cnb,B);
		ins(++ cnp,bl[B],(LL)1e18);
		bl[B] = cnp;
		ins(bl[B],i,(LL)1e18);
		ins(++ cnp,tt[A[i]],(LL)1e18);
		tt[A[i]] = cnp;
		ins(tt[A[i]],i,(LL)1e18);
	}
	ans -= dinic(S,T);
	AIput(ans,'\n');
//	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
//		printf("%d(%d): ",i,A[i]);
//		if(w[fr[i]] > 0) {
//			printf("black");
//		}
//		else printf("white");
//		printf("   [%d,%d]\n",ll[i],rr[i]);
//	}
	return 0;
}

posted @ 2021-09-13 23:00 DD_XYX 阅读(39) 评论(0) 编辑收藏举报

会员力量，点亮园子希望

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来源：https://blog.csdn.net/weixin_43960414