【碳硫磷模拟赛】消失的+和* （树形DP）

好久没做过这么恶心的DP题了

题面

题面很简单，有一个计算式，由+号、*号、括号和小于10的正整数组成，现在所有的+和*(由于属于违禁词而)都被-号给和谐掉了，现在要求所有可能的原计算式的结果之和。

你知道的信息：计算式总长度 $n\in [1,10^5]$（其中保证-号总数 $m\le 2500$），原计算式的+号总数 $k\in [0,m]$ ，被和谐后的计算式（含括号）。

题解

括号表示了计算间的优先关系，我们可以通过这种关系建棵树，子节点比父节点先算。

然后，设计DP状态：$dp[i][j].sum$ 表示该子树 $i$ 内存在 $j$ 个+号的所有算式结果之和，$dp[i][j].cnt$ 表示该子树 $i$ 内存在 $j$ 个+号的算式总数。此处 $dp[i][j]$ 是一个二元组。

经典的树形背包DP枚举+转移思路：记录前面儿子的答案，与下一个儿子合并。此时“前面儿子”不一定两端有括号，但下一个儿子一定是一个整体。

那么对于两个算式间用+号相连（$C=A+B$），有转移：
$$\begin{gathered} dp[C][j+k+1]\leftarrow (dp[A][j].sum\ast dp[B][k].cnt+dp[B][k].sum\ast dp[A][j].cnt, \\ dp[A][j].cnt\ast dp[B][k].cnt) \end{gathered}$$

但是对于乘法（$C=A\ast (B)$）的情况就有困难，由于前一个算式不一定两端有括号，所以 $B$ 只能乘 $A$ 的最后一项。那我们就把 $A$ 的所有情况下的最后一项拿出来求和，记为 $g[A][...]$（不是二元组），然后可以有一个复杂的转移：
$$\begin{gathered} dp[C][j+k]\leftarrow (dp[B][k].sum\ast g[A][j]+(dp[A][j].sum-g[A][j])\ast dp[B][k].cnt, \\ dp[A][j].cnt\ast dp[B][k].cnt) \\ g[C][j+k+1]\leftarrow dp[B][k].sum\ast dp[A][j].cnt \\ g[C][j+k]\leftarrow g[A][j]\ast dp[B][k].sum \end{gathered}$$

复杂度是经典的树上背包DP时间复杂度， $O(n^2)$ 。

有几点要注意的：

1. $n$ 很大，$m$ 很小，说明括号可能很多，得缩掉一些儿子数只有1的废点。
2. 注意转移的先后顺序。
3. 注意子树 size ，边界情况卡准。
4. 回溯的时候，由于在算式两边加上了括号，要把所有的 $g[i][j]$ 赋值为 $dp[i][j].sum$。

CODE

#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 2505
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define UI unsigned int
#define DB double
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define FI first
#define SE second
#define eps (1e-4)
LL read() {
    LL f=1,x=0;char s = getchar();
    while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
    while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
    return f*x;
}
void putpos(LL x) {
    if(!x) return ;
    putpos(x/10); putchar('0'+(x%10));
}
void putnum(LL x) {
    if(!x) putchar('0');
    else if(x < 0) putchar('-'),putpos(-x);
    else putpos(x);
}
void AIput(LL x,char c) {putnum(x);putchar(c);}
 
const int MOD = 1000000007;
int n,m,s,o,k;
int le;
char ss[100005];
int cnd,sz[MAXN];
struct it{
    int x,y;it(){x=y=0;}
    it(int X,int Y){x=X;y=Y;}
};
it operator + (it a,it b) {return it((a.x+b.x)%MOD,(a.y+b.y)%MOD);}
it Plus(it a,it b) {return it((a.x*1ll*b.y%MOD+a.y*1ll*b.x%MOD)%MOD,a.y*1ll*b.y%MOD);}
it Mult(it a,it b) {return it(a.x*1ll*b.x%MOD,a.y*1ll*b.y%MOD);}
it dp[MAXN][MAXN];
int g[MAXN][MAXN];
int dfs(int ad) {
    if(ss[ad] != '(') {
        int nm = ss[ad]-'0';
        int x = ++ cnd;
        sz[x] = 1;
        for(int i = 1;i <= m;i ++) dp[x][i] = it(),g[x][i] = 0;
        dp[x][0] = it(nm,1);
        g[x][0] = nm;
        return x;
    }
    int le = 0,cc = 1,st = ad;
    vector<int> v;
    v.push_back(0);
    while(cc) {
        ad ++;
        if(ss[ad] != '-') {
            if(ss[ad] == ')') cc --;
            else {
                if(cc == 1) v.push_back(dfs(ad)),le ++;
                if(ss[ad] == '(') cc ++;
            }
        }
    }
    int tl = cnd+1;
    int siz = sz[v[1]],las = v[1];
    for(int i = 2;i <= le;i ++) {
        int y = v[i],p = v[i-1];
        las = y;
        siz += sz[y];
        for(int j = 0;j < siz;j ++) dp[tl][j] = it(),g[tl][j] = 0;
        for(int j = 0;j < sz[y];j ++) {
            for(int k = 0;k < siz-sz[y];k ++) {
                int nm = (dp[y][j].x *1ll* g[p][k] % MOD + (dp[p][k].x+MOD-g[p][k]) % MOD *1ll* dp[y][j].y % MOD) % MOD;
                dp[tl][j+k] = dp[tl][j+k] + it(nm,dp[y][j].y *1ll* dp[p][k].y % MOD);
                dp[tl][j+k+1] = dp[tl][j+k+1] + Plus(dp[y][j],dp[p][k]);
                (g[tl][j+k] += g[p][k] *1ll* dp[y][j].x % MOD) %= MOD;
                (g[tl][j+k+1] += dp[y][j].x *1ll* dp[p][k].y % MOD) %= MOD;
            }
        }
        swap(dp[tl],dp[y]);
        swap(g[tl],g[y]);
        sz[y] = siz;
    }
    for(int i = 0;i < siz;i ++) g[las][i] = dp[las][i].x;
    return las;
}
int main() {
    freopen("operator.in","r",stdin);
    freopen("operator.out","w",stdout);
    le = read();m = read();
    scanf("%s",ss + 1);
    ss[0] = '(';
    ss[le+1] = ')';
    int rt = dfs(0);
//  printf("\n<%d>\n",n);
    AIput(dp[rt][m].x,'\n');
    return 0;
}