OID天下第一 （双指针，LCT，线段树）

题面

或曰：“笑长天下第一！”，OID 喜得合不拢嘴：“哈哈哈哈哈哈……”

---

OneInDark 是天下第一的。

OneInDark 给了你一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图（无重边自环），点标号为 $1\sim n$。祂想要考考你，有多少对整数对 $(l,r)$ 满足：

• $1\le l\le r\le n$
• 如果把区间 $[l,r]$ 内的点以及它们之间的边保留下来，其他的点和边都扔掉，那么留下来的这张图恰好是一条链。

注：链必须是连通的图。特别地，一个点的图也是链。

$n,m\le 2.5\times 10^5$

题解

既然它是一条链，就没有度数大于 2 的点，同时又无环。

如果无环，那么就是森林（重点：一棵树也是森林），森林成为连通图只需要满足一个条件：点数-边数=1。同时由于森林满足 点数-边数 ≥ 1，所以该条件等价于(点数-边数)取得最小值 1 。

于是，我们认定链要(先后)满足三个条件：

• 每个点的度数不超过 2（读书超过 2 的点个数为 0）。
• 无环。
• (点数 - 边数) 取得最小值 1 。

如果固定区间右端点 $R$，我们会发现只满足前两个条件的区间左端点 $L$ 是连续的，从某个位置一直到 $R$。同时若区间 $[L,R]$ 满足前两个条件，那么区间 $[L,R-1]$ （如果非空的话）也一定满足前两个条件。所以我们用双指针（曰Two Pointers，曰尺取(?)……）配合LCT（判断环），求出对于每个右端点的最远合法——仅对前两个条件合法——的左端点。

这时候要满足第三个条件，就很简单了。我们用线段树，维护左端点在每个位置时的(点数-边数)最小值及其个数。

时间复杂度 $O((n+m)\log n)$ 。

CODE

做 LCT 要谨记一点：平衡树上凡是访问过的链，都得Splay旋到根，相当于对Splay进行一次“训练”，不然复杂度不对。

#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 250005
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define UI unsigned int
#define DB double
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define FI first
#define SE second
#define eps (1e-4)
#define BI bitset<1002>
#pragma GCC optimize(2)
LL read() {
	LL f=1,x=0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f*x;
}
void putpos(LL x) {
	if(!x) return ;
	putpos(x/10); putchar('0'+(x%10));
}
void putnum(LL x) {
	if(!x) putchar('0');
	else if(x < 0) putchar('-'),putpos(-x);
	else putpos(x);
}
void AIput(LL x,char c) {putnum(x);putchar(c);}

int n,m,s,o,k;
// -------------------------------------START >>>
struct tr{
	int s[2],fa,lz;
	tr(){s[0]=s[1]=fa=lz=0;}
}tre[MAXN];
int isroot(int x) {return tre[tre[x].fa].s[0] != x && tre[tre[x].fa].s[1] != x;}
int whichson(int x) {return tre[tre[x].fa].s[1] == x;}
int update(int x) {
	if(!x) return x;
	tre[tre[x].s[0]].fa = tre[tre[x].s[1]].fa = x;
	tre[0].fa = 0;
	return x;
}
void pushdown(int x) {
	if(tre[x].lz) {
		swap(tre[x].s[0],tre[x].s[1]);
		tre[tre[x].s[0]].lz ^= 1;
		tre[tre[x].s[1]].lz ^= 1;
		tre[x].lz = 0;
	}return ;
}
void rotat(int x) {
	int y = tre[x].fa,z = tre[y].fa;
	int d = whichson(x),d2 = whichson(y),d3 = isroot(y);
	tre[y].s[d] = tre[x].s[d^1];
	tre[x].s[d^1] = y; tre[x].fa = z;
	tre[tre[y].s[d]].fa = y; tre[y].fa = x;
	if(!d3) tre[z].s[d2] = x; tre[0].fa = 0;
	return ;
}
void pushup(int x) {
	static int st[MAXN],tp;
	st[tp = 1] = x;
	while(!isroot(x)) st[++ tp] = tre[x].fa,x = tre[x].fa;
	while(tp > 0) pushdown(st[tp --]);
	return ;
}
int splay(int x) {
	pushup(x);
	while(!isroot(x)) {
		int y = tre[x].fa;
		if(!isroot(y) && whichson(x) == whichson(y)) rotat(y);
		rotat(x);
	}return x;
}
// ---------------------------SPLAY
int Access(int x) {
	int p = 0,xx = x;
	while(x) {
		splay(x);
		tre[x].s[1] = p;
		p = update(x);
		x = tre[x].fa;
	}return splay(xx);
}
void Makeroot(int x) {Access(x);tre[x].lz ^= 1;}
int Findroot(int x) {Access(x);while(tre[x].s[0])x=tre[x].s[0];return splay(x);}
void Cut(int x,int y) {Makeroot(x);Access(y);tre[y].s[0]=tre[x].fa=0;update(y);}
void Link(int x,int y) {Makeroot(x);tre[x].fa = y;return ;}
// ---------------------------LCT
int hd[MAXN],v[MAXN<<1],nx[MAXN<<1],cne;
int ind[MAXN],cnd;
map<int,bool> mp[MAXN];
void ins(int x,int y) {
    nx[++ cne] = hd[x]; v[cne] = y; hd[x] = cne;
}
void del(int x) {
	for(int i = hd[x];i;i = nx[i]) {
		if(mp[min(x,v[i])][max(x,v[i])]) {
			Cut(x,v[i]);
			mp[min(x,v[i])][max(x,v[i])] = 0;
			ind[x] --; ind[v[i]] --;
			if(ind[x] == 2) cnd --;
			if(ind[v[i]] == 2) cnd --;
		}
	}return ;
}
int pl[MAXN];
struct it{
	int nm,ct;
	it(){nm=0x3f3f3f3f;ct=0;}
}tr[MAXN<<2];
int lz[MAXN<<2],M;
it merg(it a,it b) {
	if(a.nm > b.nm) swap(a,b);
	if(a.nm == b.nm) a.ct += b.ct;
	return a;
}
it operator + (it a,int b) {a.nm += b; return a;}
void maketree(int n) {
	M=1;while(M<n+2)M<<=1;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		tr[M+i].nm = 0;tr[M+i].ct = 1;
	}
	for(int i = M-1;i > 0;i --) {
		tr[i] = merg(tr[i<<1],tr[i<<1|1]);
	}return ;
}
void addtree(int l,int r,int y) {
	int s = M+l-1,t = M+r+1;
	while(s || t) {
		if(s<M) tr[s] = merg(tr[s<<1],tr[s<<1|1]) + lz[s];
		if(t<M) tr[t] = merg(tr[t<<1],tr[t<<1|1]) + lz[t];
		if((s>>1) ^ (t>>1)) {
			if(!(s&1)) tr[s^1]=tr[s^1]+y,lz[s^1]+=y;
			if(t & 1) tr[t^1]=tr[t^1]+y,lz[t^1]+=y;
		}s >>= 1;t >>= 1;
	}return ;
}
it findtree(int l,int r) {
	it ls = it(),rs = it();
	if(l > r) return ls;
	int s = M+l-1,t = M+r+1;
	while(s || t) {
		ls = ls + lz[s];
		rs = rs + lz[t];
		if((s>>1) ^ (t>>1)) {
			if(!(s&1)) ls = merg(ls,tr[s^1]);
			if(t & 1) rs = merg(rs,tr[t^1]);
		}s >>= 1;t >>= 1;
	}return merg(ls,rs);
}
int main() {
	freopen("txdy.in","r",stdin);
	freopen("txdy.out","w",stdout);
	n = read();m = read();
	for(int i = 1;i <= m;i ++) {
		s = read();o = read();
		ins(s,o); ins(o,s);
	}
	int st = 1;
	maketree(n);
	LL ans = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		addtree(1,i,1);
		for(int j = hd[i];j;j = nx[j]) {
			s = i; o = v[j];
			while(o >= st && o <= i && Findroot(o) == Findroot(s)) {
				del(st ++);
			}
			if(o >= st && o <= i) {
				Link(s,o);
				mp[min(s,o)][max(s,o)] = 1;
				ind[s] ++; ind[o] ++;
				if(ind[s] == 3) cnd ++;
				if(ind[o] == 3) cnd ++;
			}
			if(v[j] < i) {
				addtree(1,v[j],-1);
			}
		}
		while(cnd > 0) del(st ++);
		pl[i] = st;
		it as = findtree(pl[i],i);
		if(as.nm == 1) ans += as.ct;
	}
	AIput(ans,'\n');
	return 0;
}