差点被转卖的乘法表
源自数 据 删 除出的套题,挺有意思的。题目与 ??? 来源相同。
题目
柯伊伯带,落难的外星飞船,
除了那些胶皮一样的外星人日记,工作人员还发现了一张画着奇怪符号矩阵的画,经过充分的观察,认定这是一张乘法表,
虽然这个长着倒三角头和人类身形的外星人双手共有 10 根手指,应该用的也是十进制数,但是这张乘法表却是
p
p
p 进制的,因为它共有
p
p
p 种不同的符号。这并不奇怪,人类也是用的十进制,但计算机要发展还是得有二进制、八进制和十六进制。
乘法表上第 i i i 行第 j j j 列是一个两位数 A i , j p + B i , j A_{i,j}p+B_{i,j} Ai,jp+Bi,j( A A A 可以是 0),表示符号 i i i 与符号 j j j 相乘的结果,其中 A , B A,B A,B 也是两个符号。由于符号过多,这里用 0 , 1 , 2 , 3... 0,1,2,3... 0,1,2,3... 等数字编号代替符号,每个符号唯一对应一个 0 ∼ p − 1 0\sim p-1 0∼p−1 之间的数。
现在给出这个乘法表,要求破译出每个符号代表的数。朴素乘法是不会受虫洞干扰的,所以这个乘法表一定有唯一解。把乘法表破译后,古河打算把它高价卖给数学收藏家。
p ≤ 2000 p\leq 2000 p≤2000 .
Solution
想法很妙啊,
首先,我们会发现,如果 x x x 代表的是 0 的话,那么第 x x x 行和第 x x x 列肯定全是“ x x xx xx”( x p + x xp+x xp+x),这样的符号只能有一个,所以我们找到了 0 。
然后,通过对十进制乘法表的观察,我们不难发现一个惊人的结论:数字 x x x( x > 0 x>0 x>0) 所在的行/列出现的所有数的第二位,一定只会出现 0 ∼ x − 1 0\sim x-1 0∼x−1 ,而且这里面每个数都一定出现,也就是说,它所在的行本质不同的第二位符号数一定刚好是 x x x 。
所以,我们统计每一行第二位数字(符号)本质不同的有多少个,就可以求出该行符号代表的数了。
时间复杂度 O ( p 2 ) O(p^2) O(p2) ,万万没想到只是遍历的复杂度。
CODE
出题人的 std
,猜猜这是谁
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <map>
#define N 4005
#define M 15
#define mod 1000000007
#define mod2 100000000
#define ll long long
#define maxi(a,b) (a)>(b)? (a) : (b)
#define mini(a,b) (a)<(b)? (a) : (b)
using namespace std;
int cnt;
int p;
int i, j;
int a[N][N];
int c[N][N];
int cc[N];
int ans[N], pp[N];
int main() {
// freopen("--------------.in", "r", stdin);
// freopen("--------------.out", "w", stdout);
cnt = 1;
scanf("%d", &p);
for (i = 0; i < p; i++) {
for (j = 1; j <= p; j++) {
scanf("%d", &a[i][2 * j - 1]);
cc[ a[i][2 * j - 1] ]++;
scanf("%d", &a[i][2 * j]);
cc[ a[i][2 * j] ]++;
}
}
int ma = cc[0];
int index = 0;
for (i = 0; i < p; i++) {
if (cc[i] > ma) {
ma = cc[i];
index = i;
}
}
ans[0] = index;
memset(cc, 0, sizeof(cc));
for (i = 0; i < p; i++) {
for (j = 1; j <= p; j++) {
if (c[i][ a[i][2 * j - 1] ] == 0) {
c[i][ a[i][2 * j - 1] ] = 1;
cc[i]++;
}
}
if (cc[i] == 1) {
if (ans[0] != i)
ans[1] = i;
} else {
ans[ cc[i] ] = i;
}
}
for (int i = 0; i < p; i++)
pp[ans[i]] = i;
for (i = 0; i < p; i++)
printf("%d%c", pp[i], " \n"[i == p - 1]);
}