【NOI P模拟赛】(要素过多的标题)（容斥原理）
题面
0 题目背景
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1 题目描述
🍓在执行任务时，收集到了 n n n 份🔥能源，其中第 i i i 份的能量值是 w i w_i wi ，她决定将它们分成恰好 k k k 组带回基地，每一组都要有至少 1 \tt1 1 份能源。
每一组能源会对运输设备产生负荷值，若该组有 x x x 份能源，这 x x x 份能源能量值之和为 y y y , 则产生的负荷值为 x × y x × y x×y 。
每种分组方案产生的负荷是每一组能源产生的负荷值总和，🍓想知道所有可能的分组方案产生的负荷之和对 998244353 \tt998244353 998244353 取模的结果。
2 输入格式
输入文件 ichigo.in 包含 2 行。
第 1 行输入两个正整数分别表示 n , k n, k n,k 。
第 2 行输入 n n n 个正整数，其中第 i i i 个正整数表示 w i w_i wi 。
3 输出格式
输出文件 ichigo.out 包含一行，仅一个非负整数，表示答案对 998244353 \tt998244353 998244353 取模的结果。
题解
翻译一下，第 i i i 份🔥能源的贡献为（所有情况下【 i i i 所在的组的大小】之和）× w i w_i wi 。
然后这个括号里的（所有情况下【 i i i 所在的组的大小】之和），对于每个 i i i 来说地位是等同的，所以我们求的最终答案就是（所有情况下【一号所在的组的大小】之和）× ∑ w i \sum w_i ∑wi 。
我们令（ 所有情况下【一号所在的组的大小】之和）为 a s as as 。
首先我们发现，分成 k k k 组是无序的，不好办，我们就先让他有序，给每一组一个 1 ∼ k 1\sim k 1∼k 的标号，答案除去 k ! k! k! 就行了。（这里，不少人会选择【斯特林数】推导，但是这并不方便计算我们的目标）
然后，就可以将
n
n
n 份能源放入
k
k
k 个桶中，统计每份能源与一号能源碰面的概率之和，再乘上总方案数，就能求出 不强制每个桶非空 的答案了：
(
1
k
⋅
(
n
−
1
)
+
1
)
⋅
k
n
(\frac{1}{k}\cdot(n-1)+1)\cdot k^n
(k1⋅(n−1)+1)⋅kn
接下来用容斥，我们令条件 A i A_i Ai 为桶 i i i 非空，求所有条件都满足的答案。
可得
a
s
=
∑
i
=
1
k
(
−
1
)
k
−
i
(
(
1
i
(
n
−
1
)
+
1
)
⋅
i
n
)
⋅
(
k
i
)
k
!
as=\frac{\sum_{i=1}^k(-1)^{k-i} \left(\Big(\frac{1}{i}(n-1)+1\Big)\cdot i^n \right)\cdot {k\choose i}}{k!}
as=k!∑i=1k(−1)k−i((i1(n−1)+1)⋅in)⋅(ik)
即最终答案为
(
∑
w
i
)
⋅
∑
i
=
1
k
(
−
1
)
k
−
i
(
(
1
i
(
n
−
1
)
+
1
)
⋅
i
n
)
⋅
(
k
i
)
k
!
(\sum w_i)\cdot\frac{\sum_{i=1}^k(-1)^{k-i} \left(\Big(\frac{1}{i}(n-1)+1\Big)\cdot i^n \right)\cdot {k\choose i}}{k!}
(∑wi)⋅k!∑i=1k(−1)k−i((i1(n−1)+1)⋅in)⋅(ik)
时间复杂度 O ( n log n ) O(n\log n) O(nlogn) 。
瓶颈在于求 1 ∼ k 1\sim k 1∼k 的 n n n 次方用了快速幂，可以用线性筛优化至 O ( n ) O(n) O(n) 。
CODE
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <stack>
#include <random>
#include <vector>
#include <bitset>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 1000005
#define LL long long
#define DB double
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define ENDL putchar('\n')
#define FI first
#define SE second
int xchar() {
static const int maxn = 1000000;
static char b[maxn];
static int len = 0, pos = 0;
if (pos == len)
pos = 0, len = fread(b, 1, maxn, stdin);
if (pos == len)
return -1;
return b[pos++];
}
//#define getchar() xchar()
LL read() {
LL f = 1, x = 0;
int s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') {
if (s < 0)
return -1;
if (s == '-')
f = -f;
s = getchar();
}
while (s >= '0' && s <= '9') {
x = x * 10 + (s ^ 48);
s = getchar();
}
return f * x;
}
void putpos(LL x) {
if (!x)
return;
putpos(x / 10);
putchar('0' + (x % 10));
}
void putnum(LL x) {
if (!x) {
putchar('0');
return;
}
if (x < 0) {
putchar('-');
x = -x;
}
return putpos(x);
}
void AIput(LL x, int c) {
putnum(x);
putchar(c);
}
const int MOD = 998244353;
int n, m, s, o, k;
int qkpow(int a, int b) {
int res = 1;
while (b > 0) {
if (b & 1)
res = res * 1ll * a % MOD;
a = a * 1ll * a % MOD;
b >>= 1;
}
return res;
}
int fac[MAXN], inv[MAXN], invf[MAXN];
int C(int n, int m) {
if (m < 0 || m > n)
return 0;
return fac[n] * 1ll * invf[n - m] % MOD * invf[m] % MOD;
}
int dp[MAXN];
int main() {
freopen("ichigo.in", "r", stdin);
freopen("ichigo.out", "w", stdout);
n = read();
k = read();
fac[0] = fac[1] = inv[0] = inv[1] = invf[0] = invf[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
fac[i] = fac[i - 1] * 1ll * i % MOD;
inv[i] = (MOD - inv[MOD % i]) * 1ll * (MOD / i) % MOD;
invf[i] = invf[i - 1] * 1ll * inv[i] % MOD;
}
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) (ans += read()) %= MOD;
for (int i = 1; i <= k; i++) {
int al = qkpow(i, n);
dp[i] = (inv[i] * 1ll * (n - 1) % MOD + 1) * 1ll * al % MOD;
}
int as = 0;
for (int i = k, l = 1; i > 0; i--, l = MOD - l) {
(as += l * 1ll * dp[i] % MOD * 1ll * C(k, i) % MOD) %= MOD;
}
as = as * 1ll * invf[k] % MOD;
ans = ans * 1ll * as % MOD;
AIput(ans, '\n');
return 0;
}
