【NOI P模拟赛】大阶乘(斯特林数)
题意
求 16 16 16 进制下, n ! n! n! 去掉尾部 0 0 0 后取模 2 64 2^{64} 264 的结果。
n < 2 64 n<2^{64} n<264
一共 T ≤ 10 T\leq10 T≤10 组数据。
题解
存在一个末尾的
0
0
0 ,意味着能被
2
4
2^4
24 整除。我们就把这个数含有的
2
2
2 的次数求出来,取模
4
4
4 ,再乘上去。我们可以用扩展Lucas类似的方法,把目标不断除以 2 来统计,即依次统计能被
2
1
,
2
2
,
2
3
,
.
.
.
,
2
63
2^1,2^2,2^3,...,2^{63}
21,22,23,...,263 整除的数的个数,再加起来。剔除所有的
2
2
2 后,答案变成了
∏
i
=
0
f
(
n
2
i
)
\prod_{i=0} f(\frac{n}{2^i})
i=0∏f(2in)
其中 f ( n ) = ∏ i = 1 ( n + 1 ) / 2 − 1 ( 2 i + 1 ) f(n)=\prod_{i=1}^{(n+1)/2-1}(2i+1) f(n)=∏i=1(n+1)/2−1(2i+1) 。
现在我们的问题变成了求
f
(
n
)
f(n)
f(n) ,我们把它展开,
喔
唷
,
崩
溃
啦
_{喔\,唷,\,崩\,溃\,啦}
喔唷,崩溃啦
这里的
n
n
n 太大了,看来我们得换个思路,我们令
2
=
x
2=x
2=x ,在取模
2
64
2^{64}
264 下,我们会发现只存在
x
x
x 的
1
∼
63
1\sim63
1∼63 次项。我们再展开:
∑
i
=
0
63
g
(
n
+
1
2
−
1
,
i
)
⋅
x
i
\sum_{i=0}^{63} g(\frac{n+1}{2}-1,i)\cdot x^i
i=0∑63g(2n+1−1,i)⋅xi
这里的 g ( n , m ) g(n,m) g(n,m) 表示从 1 ∼ n 1\sim n 1∼n 中选 m m m 个数相乘的所有方案之和。
未曾设想的方向:
g
(
n
,
m
)
g(n,m)
g(n,m) 是可以递推的,不难得出递推式为
g
(
n
,
m
)
=
g
(
n
−
1
,
m
)
+
g
(
n
−
1
,
m
−
1
)
×
n
g(n,m)=g(n-1,m)+g(n-1,m-1)\times n
g(n,m)=g(n−1,m)+g(n−1,m−1)×n
这个式子看起来有点熟悉,我们想想另一个递推式:
s
(
n
,
m
)
=
s
(
n
−
1
,
m
−
1
)
+
s
(
n
−
1
,
m
)
×
(
n
−
1
)
s(n,m)=s(n-1,m-1)+s(n-1,m)\times(n-1)
s(n,m)=s(n−1,m−1)+s(n−1,m)×(n−1)
所以不难发现第一类斯特林数
s
(
n
,
m
)
s(n,m)
s(n,m) 和
g
(
n
,
m
)
g(n,m)
g(n,m) 之间的关系:
g
(
n
,
m
)
=
s
(
n
+
1
,
n
−
m
+
1
)
g(n,m)=s(n+1,n-m+1)
g(n,m)=s(n+1,n−m+1)
太好啦,我们可以直接计算第一类斯特林数:
喔
唷
,
崩
溃
啦
_{喔\,唷,\,崩\,溃\,啦}
喔唷,崩溃啦
还是不行,因为这里的 n + 1 n+1 n+1 太大了, m m m 虽然很小,但是 n − m + 1 n-m+1 n−m+1 太大了。
考虑到第一类斯特林数的定义是若干个数组成圆排列,我们可以利用
m
m
m ,因为大小超过
1
1
1 的圆排列个数小于等于
m
m
m 。所以:
s
(
n
+
1
,
n
−
m
+
1
)
=
∑
i
=
0
m
d
p
[
m
]
[
i
]
⋅
(
n
+
1
m
+
i
)
s(n+1,n-m+1)=\sum_{i=0}^{m} dp[m][i]\cdot{n+1\choose m+i}
s(n+1,n−m+1)=i=0∑mdp[m][i]⋅(m+in+1)
其中 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 表示 i + j i+j i+j 个数形成 j j j 个大小不为 1 1 1 的圆排列的方案数,
这个也是可以递推的,讨论最末尾一个圆排列大小是否大于
2
2
2 ,可得递推式
d
p
[
i
]
[
j
]
=
(
d
p
[
i
−
1
]
[
j
]
+
d
p
[
i
−
1
]
[
j
−
1
]
)
×
(
i
+
j
−
1
)
dp[i][j]=\big(dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1]\big)\times\big(i+j-1\big)
dp[i][j]=(dp[i−1][j]+dp[i−1][j−1])×(i+j−1)
组合数的计算是个难题,因为要用除法,但是 2 64 2^{64} 264 又不是个很好的模数。
所以,我们要把分子和分母的所有 2 2 2 都提出来,然后相除,再放到组合数里。
综合算下来,时间复杂度 O ( T log 4 n ) O(T\log^4n) O(Tlog4n),可过。
CODE
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<random>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 10000005
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define DB double
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define ENDL putchar('\n')
#define FI first
#define SE second
LL read() {
LL f=1,x=0;int s = getchar();
while(s < '0' || s > '9') {if(s<0)return -1;if(s=='-')f=-f;s = getchar();}
while(s >= '0' && s <= '9') {x = (x<<3) + (x<<1) + (s^48); s = getchar();}
return f*x;
}
const char sxt[16] = {'0','1','2','3','4','5','6','7','8','9','A','B','C','D','E','F'};
ULL readull() {
ULL x=0;int s = getchar();
while(s < '0' || s > '9') {if(s < 0) return 0;s = getchar();}
while(s >= '0' && s <= '9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48); s = getchar();}
return x;
}
void putpos(ULL x) {if(!x)return ;putpos(x>>4);putchar(sxt[x&15]);}
void putnum(ULL x) {
if(!x) {putchar('0');return ;}
return putpos(x);
}
void AIput(ULL x,int c) {putnum(x);putchar(c);}
int n,m,s,o,k;
ULL inv[128];
ULL facf(ULL x) {
if(!x) return 1ull;
ULL dp[128][128] = {};
dp[0][0] = 1;
for(int i = 1;i <= 126 && i <= x;i ++) {
for(int j = 1;j <= i;j ++) {
dp[i][j] = dp[i-1][j] * (i-1+j) + dp[i-1][j-1] * (i-1+j);
}
}
if(!(x&1)) x --;
ULL n = x/2 + 1;
ULL ans = 0,pw = 1;
for(int i = 0;i <= 63 && i <= n;i ++,pw <<= 1) {
ULL stl = 0;
ULL c1[128],c2 = 1,tlc2 = 1;
for(int j = 1;j <= i*2 && j <= n;j ++) {
c1[j] = n-j+1;
int b = j,cn = 0;
while(!(b&1)) b>>=1,cn++;
for(int k = 1;k <= j && cn;k ++) {
while(cn && !(c1[k]&1)) c1[k]>>=1,cn --;
}
c2 *= inv[b];
tlc2 *= b;
if(j > i) {
ULL C = c2;
for(int k = 1;k <= j;k ++) C *= c1[k];
stl += C * dp[i][j-i];
}
}
if(i == 0) stl = 1;
ans += pw * stl;
}
return ans;
}
int main() {
freopen("multiplication.in","r",stdin);
freopen("multiplication.out","w",stdout);
inv[0] = 1;
for(int i = 1;i <= 128;i += 2) {
ULL a = i;
inv[i] = i;
for(int j = 1;j <= 62;j ++) {
a = a * a;
inv[i] *= a;
}
}
int T = read();
while(T --) {
ULL N = readull();
int ct = 0;
ULL b = 1,as = facf(N);
for(int i = 1;i < 64;i ++) {
b <<= 1;
ct += (N/b) & 3;
ct &= 3;
as *= facf(N/b);
}
for(int i = 1;i <= ct;i ++) as *= 2ull;
AIput(as,'\n');
}
return 0;
}