【NOI P模拟赛】奶油蛋糕塔（状压 DP）

题面

数据范围

$1\le n\le 5\times 10^5$ 。

题解

$n\le 20$ 的状压应该都会吧，状态记录已经选了的蛋糕集合，以及蛋糕序列的尾部奶油，然后枚举蛋糕转移。

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总共有 $10$ 种不同的蛋糕，数据很小。

把最后的蛋糕塔等效为一个序列，如果有连续三个同种蛋糕，美味度分别为 $A,B,C$，那么就可以把他们等效为一个美味度为 $A+B+C$ 的同种蛋糕，放在原来的位置。于是连续的一段奇数个同种蛋糕都可以合并成一个蛋糕。

现在我们证明一个结论：存在最优解，满足对于每种蛋糕，按上述方式合并后，蛋糕数量不超过 2 个（至多两段连续奇数段）。

考虑用调整法，对于任意解中的任意一种蛋糕，合并后仍存在三个不同位置的蛋糕 $a,b,c$ ，已知每种蛋糕都有两种方向，由鸽笼原理可得，这三块蛋糕一定至少有两块蛋糕是同向的。不妨设 $a,b$ 的奶油都是 左 $X$ 右 $Y$ ，$a<b$ ，那么区间 $[a+1,b-1]$ 的整体就是左 $Y$ 右 $X$ 。我们把 $[a+1,b-1]$ 对称翻转，然后移开 $a,b$ ，把 $a,b$ 拼起来塞到 $c$ 的一侧，最后合并 $a,b,c$ 。整个过程结束，蛋糕序列美味度总和不变，仍然合法，$a,b,c$ 却变成了一块蛋糕。

既然合并后每种蛋糕可以不超过两个，那么我们就可以提前把每种蛋糕最大的前奇数个合并到一起，最多留下一个最小的，这样每种蛋糕一开始就只有两个，总的蛋糕数量 $n$ 降至 $20$ ，

就可以用状压了。

CODE

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<random>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 500005
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define DB double
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define ENDL putchar('\n')
#define FI first
#define SE second
LL read() {
    LL f=1,x=0;int s = getchar(); 
    while(s < '0' || s > '9') {if(s<0)return -1;if(s=='-')f=-f;s = getchar();}
    while(s >= '0' && s <= '9') {x = (x<<3) + (x<<1) + (s^48); s = getchar();}
    return f*x;
}
void putpos(LL x) {if(!x)return ;putpos(x/10);putchar('0'+(x%10));}
void putnum(LL x) {
    if(!x) {putchar('0');return ;}
    if(x<0) {putchar('-');x = -x;}
    return putpos(x);
}
void AIput(LL x,int c) {putnum(x);putchar(c);}

int n,m,s,o,k;
const int id[4][4] = {{0,1,2,3},{1,4,5,6},{2,5,7,8},{3,6,8,9}};
priority_queue<LL> q[15];
int a[25];
LL w[25];
vector<int> bu[15];
int le[15];
LL dp[1<<20|5][4];
int main() {
	freopen("cake.in","r",stdin);
	freopen("cake.out","w",stdout);
	n = read();
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		k = read();
		char A = ' ',B = ' ';
		while(A == ' ') A = getchar();
		while(B == ' ') B = getchar();
		int bl = id[A-'W'][B-'W'];
		q[bl].push(k);
	}
	for(int i = 0;i < 10;i ++) {
		while((int)q[i].size() > 2) {
			LL A = q[i].top();q[i].pop();
			LL B = q[i].top();q[i].pop();
			LL C = q[i].top();q[i].pop();
			q[i].push(A+B+C);
		}
		while(!q[i].empty()) {
			a[m] = i; w[m] = q[i].top(); q[i].pop();
			bu[i].push_back(m); le[i] ++;
			m ++;
		}
	}
	int tp = (1<<m);
	LL ans = 0;
	for(int i = 1;i < tp;i ++) {
		for(int j = 0;j < 4;j ++) {
			for(int k = 0;k < 4;k ++) {
				for(int s = 0;s < le[id[k][j]];s ++) {
					int x = bu[id[k][j]][s];
					if(i & (1<<x))
						dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-(1<<x)][k] + w[x]);
				}
			}
			ans = max(ans,dp[i][j]);
		}
	}
	AIput(ans,'\n');
	return 0;
}