最长上升子序列

输入一个序列，求最长上升子序列（LIS）。

小数据

输入

第1行：1个整数n(1<=n<=5000)，表示序列中元素的个数.

第2行-n+1行：每行1个整数x(-1000<=x<=1000)，第i+1行表示序列中的第i个元素。

输出

第1行：1个整数k，表示最长上升子序列的长度。

思路：

深搜是行不通的，广搜也是行不通的，两者的时间复杂度都很高，前者是n的阶乘，后者要爆。

所以只能以逆向的思维，用记忆化搜索——动态规划（DP）来做，时间复杂度为O( n * ( n + 1 ) / 2 )。

DP主要就是利用数组里的部分最优解来求出另一个解，每个元素都要互相调用，调用的元素都是之前计算过的，当然也可以用递归优化。这就是它的本质——记忆化递归。

这里用一个数组 f [ ]，f [ i ] 记录从1号元素到 i 号元素之间，以 i 元素结尾的最长上升子序列的长度，相当于它每一个元素就是一个可以独立输出的解了！

跟递推式一样，DP也有一个求解的式子（叫状态转移方程），可以代入求每一个 f [ i ]。这道题的式子是这样的：

$f [ i ] = min ( f [ 1 ] , f [ 1 ] , ... , f [ i - 1 ] ) + 1$

代码也很简单：（为了防复制我就发截图）

还没懂的可以看大神的解说：[ 点这里 ]

大数据

【题目背景】

进步，就是爬坡。——某不愿透露姓名高调路过的吃瓜群众。

高度迥异的坡很多，而你想进步。

输入

第一行一个正整数 n (1<=n<=100000)，表示有n个坡。

第二行n个正整数ai（ai<=1e9），表示每个坡的高度。

输出

一行，一个正整数，表示最长的上升子序列（LIS）。

思路：

前面已经提到过，

用记忆化搜索——动态规划（DP）来做，时间复杂度为O( n * ( n + 1 ) / 2 )

这次的数据很大了，用前面的方法不再可靠了。为了减小时间复杂度，要么把他降成O( n )，要么降成O( n logn )。

所以就要用一种可以配合二分的数据结构——单调栈。具体做法如下：

开一个栈(数组模拟)，将a[0]入栈，每次取栈顶元素top和读到的元素a[i](0<i<n)做比较，如果a[i]> top 则将a[i]入栈；如果a[i]<= top则二分查找栈中的比a[i]大的第1个数，并用a[i]替换它。最长序列长度即为栈的大小top。这是很好理解的，对于x和y，如果x < y且stack[y] < stack[x]，用stack[x]替换stack[y]，此时的最长序列长度没有改变，但序列继续变长的''潜力''增大了。