机智的手机商(容斥)——立方体对角线问题

问题 : 机智的手机商(容斥)

题目描述

你是一个喜欢编程的手机经销商，一次你得到了一个边长为n的正方体箱子，里面装满了长，宽，高为a,b,c的华为手机盒，手机盒均朝同一方向摆放。这时，一束阳光正好照过正方体箱子的对角线，你想知道，这一束阳光穿过了多少手机盒。

(n<=100000,a,b,c均为n的约数)

输入

输入4个正整数，分别表示n,a,b,c

输出

输出光束穿过手机盒的数量

解析

这是三维模型：

这个十分难想，但是我们知道维度与维度之间有很多相似性，所以我们可以先考虑二维模型。

从上面我们可以发现，这束红光只能从两条边穿过一个矩形，上面和左边，那么我们就可以分开看。

从上面一眼就能看出，每一列的矩形都有且仅有一个矩形，阳光从其左边穿过，这是肯定的。每一行也一样，都有一个矩形是从上面穿过阳光的。那么左边穿过的就有n / a 个，上面的就有 n / b 个，总共有 n/a + n/b 个矩形。

但是，我们发现还有一些是从顶点穿过的（最左上角），这个数目非常可观，就是n / lcm(a,b)（最小公倍数），这些要排除。

所以总的方案数就是 n / a + n / b - n / lcm(a,b) 。

三维的就可以推出来了。

三维的每一个小长方体都有三种情况会被对角线穿过，就是上图所指的地方，上面，还有两个侧面（分别是长和宽，长和高，宽和高组成的三个面）方法数总和就是 n / a + n / b + n / c。而其中任意两种情况都有重合的可能，重合的也有三种情况：

根据上面推导的，三种情况都很可观，总数是 n / lcm(a,b) + n / lcm(b,c) + n / lcm(a,c) 。

减去这些后，我们会发现还有情况被减没了。

这三种情况也可能重合，需要加上。重合过后就是恰好穿过顶点：

那么就是他的位置恰好是a,b,c三者共同的倍数，总数就是 n / lcm(a,b,c) 。

最后的答案就是 n / a + n / b + n / c - n / lcm(a,b) - n / lcm(b,c) - n / lcm(a,c) + n / lcm(a,b,c)。

其中的 lcm(a,b,c) = lcm(lcm(a,b),c), lcm(a,b) = a * b / gcd(a,b),

gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)，gcd(x,0) = x;

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
int read() {
    int f = 1,x = 0;char s = getchar();
    while(s < '0' || s > '9') {if(s == '-')f = -1;s = getchar();}
    while(s >= '0' && s <= '9') {x = x * 10 + s - '0';s = getchar();}
    return x * f;
}
int n,m,i,j,k,s,o,a,b,c;
int gcd(int a,int b) {
    return b == 0? a : gcd(b,a % b);
}
int lcm(int a,int b) {
    return a * b / gcd(a,b);
}
int lcm(int a,int b,int c) {
    return lcm(a,lcm(b,c));
}
int main() {
    n = read();a = read();b = read();c = read();
    printf("%d",n / a + n / b + n / c - n / lcm(a,b) - n / lcm(b,c) - n/lcm(a,c) + n/lcm(a,b,c));
    return 0;
}