【题解】AT5636 Non-triangular Triplets

Sol

首先我们钦定 $c_i=2\times n-1+i+k$。
然后考虑下面一种构造方案。
然后对于 $i\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$，$a_i=k-1+2\times i$，$b_i=k+n+(nand1)-i+1$。
对于 $i>\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$，记 $x=i-\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$，$a_i=k+2\times (x-1)$，$b_i=k+2\times n-x$。
对于这样的构造方式，实质上是 $a_i=a_{i-1}+2$，$b_i=b_{i-1}-1$，所以只要第一组成立那么便有解。
把第一组的式子拆出来就是 $k\le \lceil \frac{n}{2}\rceil$。可以证明当不满足这一条件时原题无解。
然后假设原问题有解，那么

$$a_i+b_i\le c_i$$

$$\sum a_i+b_i\le \sum c_i$$

$$\sum a_i+b_i+c_i\le \sum 2\times c_i$$

$$\frac{3\times n\times (3\times n-1)}{2}+3\times n\times k\le \sum 2\times c_i$$

又有

$$\sum c_i\le \sum _{i=2n}^{3n-1}i+k$$

拆一下式子

$$\sum c_i\le \frac{n\times (5\times n-1)}{2}+n\times k$$

综上

$$\frac{3\times n\times (3\times n-1)}{2}+3\times n\times (3\times n-1)+2\times n\times k$$

然后拆出来就是

$$2\times k\le n+1$$