网络流 24 题简单sol

最长递增子序列

第一问直接 dp 即可。
第二问考虑最大流。
按照第一问所做的 dp 数组建一张分层图，其中第 $x$ 层的点都是 $d{p}_i=x$ 的 $i$。
把每个点拆成入点和出点，每个点内入点和出点连一条容量为 $1$ 的边。
然后考虑给相邻两层之间的点连边。对于第 $x$ 层的点 $i$ 和第 $x+1$ 层的点 $j$ 之间有边的条件为 $i<j$ 且 $d{p}_i<d{p}_j$，若满足则连一条流量为 $1$ 的边。
第三问把点 $1$ 和 点 $n$ 限制的边改为 $+\mathrm{\infty }$ 即可。

飞行员配对方案问题

首先增加源汇点 $S$ 和 $T$。
源点向第一个集合连流量为 $1$ 的边，汇点向第二个集合连流量为 $1$ 的边，读入的边连流量为 $+\mathrm{\infty }$ 的边。判边是否有流量即可。

孤岛营救问题

想了半天怎么建模，打开题解一看不是网络流就很离谱。
发现钥匙数量很少，考虑状压。记 $di{s}_{x,y,k}$ 表示走到 $(x,y)$，当前钥匙的状态为 $k$ 的最短路。
bfs 即可。

运输问题

建立源汇点 $S$ 和 $T$
$S$ 向仓库连流量为 $a_i$ 费用为 $0$ 的边。
商店向 $T$ 连流量为 $b_i$ 费用为 $0$ 的边。
对于 $1\le i\le n,1\le j\le m$，连流量为 $+\mathrm{\infty }$ 费用为 $cos{t}_{i,j}$ 的边。
跑费用流即可。
第二问把 $cost$ 数组取反即可。

数字梯形问题

依旧建立源汇点 $S$ 和 $T$。
对于第一问，
源点与第一行的点连流量为 $1$ 费用为 $0$ 的边。
最后一行的点与汇点连流量为 $1$ 费用为 $0$ 的边。
把每个点拆成入点和出点，连流量为 $1$ 费用为 $-a_{i,j}$ 的边。
每个点往左下和右下的点连流量为 $1$ 费用为 $0$ 的点。
第二问只需把与汇点连的边和入点与出点连的边连的流量改为 $+\mathrm{\infty }$ 即可。
第三问在第一问的前提下把除了与源点连的边的流量改为 $+\mathrm{\infty }$ 即可。

航空路线问题

把每个点拆成入点和出点，连流量为 $1$ 费用为 $1$ 的边。
把 $1$ 和 $n$ 的入点和出点连流量为 $2$ 费用为 $1$ 的边，因为起点终点要经过两次。
读入的边则将第一个点的出点向第二个点的入点流量为 $1$ 费用为 $0$ 的边。
跑出来的最大流即为路径数。
分下列情况讨论。

• 最大流为 $2$，那么经过城市数即为最大费用 $-2$，因为起点终点都经过了两次。
• 最大流为 $1$，且有一条边直接连接起点和终点，那么直接从起点走到终点再走回起点即可。
• 其余情况皆无解。

跑最大费用最大流即可。
求方案的话两遍 dfs 即可。

深海机器人问题

建立源汇点 $S$ 和 $T$。
对于所有未到边界的点 $(i,j)$ 向 $(i,j+1)$ 和 $(i+1,j)$ 连一条流量为 $1$ 费用为 $x$ 的边和一条流量为 $+\mathrm{\infty }$ 费用为 $0$ 的边。
$S$ 向所有机器人的起点连一条流量为人数费用为 $0$ 的边。
$T$ 向所有机器人的终点连一条流量为人数费用为 $0$ 的边。
跑最大费用最大流即可。

太空飞行计划问题

最大权闭合子图板子。

方格取数问题

最大权闭合子图板子。
对方格黑白染色，源点连黑点，白点连汇点，黑点连白点。