crt&excrt 学习笔记

crt

问题

求解同余方程组 $\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{b}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{b}_2)\\ \dots \\ x\equiv a_n(\mathrm{mod}{b}_n)\end{array}$，其中 $b_i$ 两两互质。

解法

解：设 $M=\prod _{i=1}^n{b}_i,M_i=\frac{M}{b_i}$，$t_i$ 为 $M_i$ 模 $b_i$ 意义下的乘法逆元。
通解为 $kM+\sum _{i=1}^n{a}_i{t}_i{M}_i(k\in \mathbb{Z})$。
证明：因为 $a_i{t}_i{M}_i\equiv a_i(\mathrm{mod}{b}_i),a_i{t}_i{M}_i\equiv 0(\mathrm{mod}{b}_j)$
所以有特解 $\sum _{i=1}^n{a}_i{t}_i{M}_i$，对于每个 $i$ 有：
$a_i{t}_i{M}_i+\sum _{j\ne i}{a}_j{t}_j{M}_j\equiv a_i+0(\mathrm{mod}{b}_i)$。
因为 $M\equiv 0(\mathrm{mod}{b}_i)$，所以通解成立。

实现

	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		m[i]=read(); a[i]=read();
		mul*=m[i];
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		M[i]=mul/m[i];
		x=0; y=0;
		exgcd(M[i],m[i]);
		ans+=a[i]*M[i]*((x+m[i])%m[i]);
	}

excrt

问题

上方去掉互质的约束。

解法

假设已经求出了前 $k$ 个方程组的解记为 $x$。
记 $M={\mathrm{lcm}}_{i=1}^{m-1}{b}_i$。
则前 $k-1$ 个方程的通解为 $x+i\times M(i\in \mathbb{Z})$。
考虑加入第 $k$ 个方程组，那么就是要求一个正整数 $y$，使得 $x+y\times M\equiv a_k(\mathrm{mod}{b}_k)$
即 $y\times M\equiv a_k-x(\mathrm{mod}{b}_k)$
然后用 exgcd 求解，若同余式无解则方程无解，否则前 $k$ 个同余式组成的方程的一个解为 $x_k=x+t\times M$

实现

int excrt()
{
	Lcm=1; ans=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		int A=Lcm,B=b[i],C=(a[i]-ans%B+B)%B,g=exgcd(A,B);
		if (C%g!=0) return -1;
		(x*=C/g)%=B/g;
		ans+=x*Lcm;
		Lcm*=B/g;
		ans=(ans%Lcm+Lcm)%Lcm;
	}
	return ans;
}