exgcd 学习笔记

问题

给定 a,b(0a,b1018),求 ax+by=gcd(a,b) 的合法整数解。

特解

解法

显然,当 b=0 时,有一组特解 x=1,y=0
可以先求出一组 a=b,b=amodb 时的一组解 x,y 来推出当前的解。
gcd(a,b)=gcd(b,amodb) 带入原式可得 bx+(amodb)y=gcd(b,amodb),递归求出一组特解 {x0=xy0=y,再带入原式:

ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,amodb)=bx0+(amodb)y0

又因为 amodb=aabb,所以:

ax+by=bx0+(aabb)y0=bx0+ay0abby0=ay0+b(x0aby0)

即原方程的一组特解为 {x=y0y=x0aby0

实现

int x,y;
int exgcd(int a,int b)
{
	if (!b)
	{
		x=1; y=0;
		return a;
	}
	int g=exgcd(b,a%b);
	int t=x; x=y; y=t-a/b*y;
	return g;
}

通解

前置

裴蜀定理:对于不定方程 ax+by=c,有整数解的充要条件是 gcd(a,b)c
因为 gcd(a,b)(ax+by),所以必要性显然。

解法

c=gcd(a,b)k,可以通过把 ax+by=gcd(a,b) 的解 x,y 都乘上 k 来得到一组特解 x0,y0
g=gcd(a,b)
通解为 x=x0+bg×k,y=y0ag×k
带入得 a(x0+bg×k)+b(y0ag×k)=c,即 ax0+by0=c

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