Gym 101986D Making Perimeter of the Convex Hull Shortest（凸包+极角排序）
首先肯定是构造一个完整的凸包包括所有的点，那么要使得刚好有两个点在外面，满足这个条件的只有三种情况。
1.两个在凸包上但是不连续的两个点。
2.两个在凸包上但是连续的两个点。
3.一个在凸包上，还有一个在这个点去掉后这段新凸包边上的一个点。
如何快速的截取新凸包的点是谁呢，我们可以将整个凸包划分区域，每个点删掉后，只可能在这块区域内选择新的点。那么我们就可以随机在凸包内部选择一个点，我使用的是凸包的重心作为坐标原点o，那么整个凸包移到原点处，然后在这个点的左侧和右侧的三角形区域内才是有可能构成新凸包边上的点，那我们只需要暴力枚举这部分内的点重构这条凸包边。那么第一第二种情况可以通过这个处理，第三种情况其实就是第一种情况套了第一种情况，那么就限暴力处理第一种情况的新凸包边，再在新凸包上继续分割三角区域，最后重构新凸包边中的新凸包边。
极角排序的时候细节处理有点坑，注意选择区域范围的角度相对大小，大型模拟题.... or
k点为重心
1 // ——By DD_BOND 2 3 //#include<bits/stdc++.h> 4 //#include<unordered_map> 5 //#include<unordered_set> 6 #include<functional> 7 #include<algorithm> 8 #include<iostream> 9 //#include<ext/rope> 10 #include<iomanip> 11 #include<climits> 12 #include<cstring> 13 #include<cstdlib> 14 #include<cstddef> 15 #include<cstdio> 16 #include<memory> 17 #include<vector> 18 #include<cctype> 19 #include<string> 20 #include<cmath> 21 #include<queue> 22 #include<deque> 23 #include<ctime> 24 #include<stack> 25 #include<map> 26 #include<set> 27 28 #define fi first 29 #define se second 30 #define pb push_back 31 #define MP make_pair 32 33 #pragma GCC optimize(3) 34 #pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,tune=native") 35 36 using namespace std; 37 38 typedef long double db; 39 typedef long long ll; 40 typedef pair<db,db> Pd; 41 typedef pair<int,int> P; 42 typedef pair<ll,ll> Pll; 43 44 const db eps=1e-8; 45 const int MAXN=1e6+10; 46 const db pi=acos(-1.0); 47 const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f; 48 49 inline int dcmp(db x){ 50 if(fabs(x)<eps) return 0; 51 return (x>0? 1: -1); 52 } 53 54 inline db Sqrt(db x){ 55 return x>0? sqrt(x): 0; 56 } 57 58 inline db sqr(db x){ return x*x; } 59 60 struct Point{ 61 db x,y,ang; 62 Point(){ x=0,y=0; } 63 Point(db _x,db _y):x(_x),y(_y){} 64 void input(){ 65 double _x,_y; 66 scanf("%lf%lf",&_x,&_y); 67 x=_x,y=_y; 68 } 69 bool operator ==(const Point &b)const{ 70 return (dcmp(x-b.x)==0&&dcmp(y-b.y)==0); 71 } 72 bool operator !=(const Point &b)const{ 73 return !((dcmp(x-b.x)==0&&dcmp(y-b.y)==0)); 74 } 75 bool operator <(const Point &b)const{ 76 return (dcmp(x-b.x)==0? dcmp(y-b.y)<0 : x<b.x); 77 } 78 Point operator +(const Point &b)const{ 79 return Point(x+b.x,y+b.y); 80 } 81 Point operator -(const Point &b)const{ 82 return Point(x-b.x,y-b.y); 83 } 84 Point operator *(db a){ 85 return Point(x*a,y*a); 86 } 87 Point operator /(db a){ 88 return Point(x/a,y/a); 89 } 90 db len2(){ //长度平方 91 return sqr(x)+sqr(y); 92 } 93 db len(){ //长度 94 return Sqrt(len2()); 95 } 96 db polar(){ //向量的极角 97 return atan2(y,x); //返回与x轴正向夹角(-pi~pi] 98 } 99 }; 100 101 inline db cross(Point a,Point b){ //叉积 102 return a.x*b.y-a.y*b.x; 103 } 104 105 inline db dot(Point a,Point b){ //点积 106 return a.x*b.x+a.y*b.y; 107 } 108 109 inline db dis(Point a,Point b){ //两点的距离 110 Point p=b-a; return p.len(); 111 } 112 113 Point centre_of_polygon(Point *p,int n){ //三角形重心加面积权值的平均求多边形的重心 114 db sum=0,sumx=0,sumy=0; 115 Point p1=p[0],p2=p[1],p3; 116 for(int i=2;i<n;i++){ 117 p3=p[i]; 118 db area=cross(p2-p1,p3-p2)/2; 119 sum+=area; 120 sumx+=(p1.x+p2.x+p3.x)*area; 121 sumy+=(p1.y+p2.y+p3.y)*area; 122 p2=p3; 123 } 124 return Point(sumx/(3*sum),sumy/(3*sum)); 125 } 126 127 Point tmp[MAXN],ins[MAXN]; 128 129 int convex_hull(Point *p,int n,Point *ch){ //求凸包 130 int m=0; 131 sort(p,p+n); 132 for(int i=0;i<n;i++){ 133 while(m>1&&dcmp(cross(tmp[m-1]-tmp[m-2],p[i]-tmp[m-1]))<0) m--; 134 tmp[m++]=p[i]; 135 } 136 int k=m; 137 for(int i=n-2;i>=0;i--){ 138 while(m>k&&dcmp(cross(tmp[m-1]-tmp[m-2],p[i]-tmp[m-1]))<0) m--; 139 tmp[m++]=p[i]; 140 } 141 if(n>1) m--; 142 for(int i=0;i<m;i++) ch[i]=tmp[i]; 143 return m; 144 } 145 146 db ans; 147 pair<db,int>rec[MAXN]; 148 Point point[MAXN],convex[MAXN],o; 149 vector<Point>side[MAXN],in[MAXN],st; 150 151 bool cmp(Point a,Point b){ 152 db dx=(a-o).polar(),dy=(b-o).polar(); 153 if(dcmp(dx-dy)==0) return dis(a,o)>dis(b,o); 154 return dx<dy; 155 } 156 157 int main(void){ 158 int n,m; scanf("%d",&n); 159 for(int i=0;i<n;i++) point[i].input(); 160 161 m=convex_hull(point,n,convex); 162 o=centre_of_polygon(convex,m); 163 164 sort(point,point+n,cmp); 165 sort(convex,convex+m,cmp); 166 167 for(int i=0;i<n;i++){ 168 point[i].ang=(point[i]-o).polar(); 169 point[i+n]=point[i]; 170 point[i+n].ang+=2*pi; 171 } 172 for(int i=0;i<m;i++){ 173 convex[i].ang=(convex[i]-o).polar(); 174 convex[i+m]=convex[i]; 175 convex[i+m].ang+=2*pi; 176 } 177 178 for(int i=0,j=0;i<m;i++){ 179 while(dcmp(convex[i].ang-point[j].ang)>0) j++; 180 while(dcmp(point[j].ang-convex[i+1].ang)<0){ 181 if(point[j]!=convex[i]) side[i].pb(point[j]); 182 j++; 183 } 184 } 185 186 // a point on convex 187 for(int i=0;i<m;i++){ 188 int l=(i==0? m-1: i-1),p=0; 189 tmp[p++]=convex[l]; 190 for(int j=0;j<side[l].size();j++){ 191 while(p>1&&dcmp(cross(tmp[p-1]-tmp[p-2],side[l][j]-tmp[p-1]))<0) p--; 192 tmp[p++]=side[l][j]; 193 } 194 for(int j=0;j<side[i].size();j++){ 195 while(p>1&&dcmp(cross(tmp[p-1]-tmp[p-2],side[i][j]-tmp[p-1]))<0) p--; 196 tmp[p++]=side[i][j]; 197 } 198 while(p>1&&dcmp(cross(tmp[p-1]-tmp[p-2],convex[i+1]-tmp[p-1]))<0) p--; 199 tmp[p++]=convex[i+1]; 200 201 db sum=dis(convex[l],convex[i])+dis(convex[i],convex[i+1]); 202 for(int j=0;j<p-1;j++) sum-=dis(tmp[j],tmp[j+1]); 203 rec[i]=MP(sum,i); 204 } 205 sort(rec,rec+m,greater<pair<db,int> >()); 206 if(abs(rec[0].se-rec[1].se)!=1&&abs(rec[0].se-rec[1].se)!=m-1) ans=max(ans,rec[0].fi+rec[1].fi); 207 if(abs(rec[0].se-rec[2].se)!=1&&abs(rec[0].se-rec[2].se)!=m-1) ans=max(ans,rec[0].fi+rec[2].fi); 208 if(abs(rec[1].se-rec[2].se)!=1&&abs(rec[1].se-rec[2].se)!=m-1) ans=max(ans,rec[1].fi+rec[2].fi); 209 210 // two consecutive point on convex 211 for(int i=0;i<m;i++){ 212 int l=(i==0? m-1: i-1),p=0; 213 tmp[p++]=convex[l]; 214 for(int j=0;j<side[l].size();j++){ 215 while(p>1&&dcmp(cross(tmp[p-1]-tmp[p-2],side[l][j]-tmp[p-1]))<0) p--; 216 tmp[p++]=side[l][j]; 217 } 218 for(int j=0;j<side[i].size();j++){ 219 while(p>1&&dcmp(cross(tmp[p-1]-tmp[p-2],side[i][j]-tmp[p-1]))<0) p--; 220 tmp[p++]=side[i][j]; 221 } 222 for(int j=0;j<side[(i+1)%m].size();j++){ 223 while(p>1&&dcmp(cross(tmp[p-1]-tmp[p-2],side[(i+1)%m][j]-tmp[p-1]))<0) p--; 224 tmp[p++]=side[(i+1)%m][j]; 225 } 226 while(p>1&&dcmp(cross(tmp[p-1]-tmp[p-2],convex[i+2]-tmp[p-1]))<0) p--; 227 tmp[p++]=convex[i+2]; 228 229 db sum=dis(convex[l],convex[i])+dis(convex[i],convex[i+1])+dis(convex[i+1],convex[i+2]); 230 for(int j=0;j<p-1;j++) sum-=dis(tmp[j],tmp[j+1]); 231 ans=max(ans,sum); 232 } 233 234 // a point on convex and a point inside convex 235 for(int i=0;i<m;i++){ 236 int l=(i==0? m-1: i-1),p=0; 237 tmp[p++]=convex[l]; 238 if(i==0) tmp[p-1].ang-=2*pi; 239 for(int j=0;j<side[l].size();j++){ 240 st.pb(side[l][j]); 241 if(i==0) st.back().ang-=2*pi; 242 while(p>1&&dcmp(cross(tmp[p-1]-tmp[p-2],side[l][j]-tmp[p-1]))<0) p--; 243 tmp[p++]=side[l][j]; 244 } 245 for(int j=0;j<side[i].size();j++){ 246 st.pb(side[i][j]); 247 while(p>1&&dcmp(cross(tmp[p-1]-tmp[p-2],side[i][j]-tmp[p-1]))<0) p--; 248 tmp[p++]=side[i][j]; 249 } 250 while(p>1&&dcmp(cross(tmp[p-1]-tmp[p-2],convex[i+1]-tmp[p-1]))<0) p--; 251 tmp[p++]=convex[i+1]; 252 253 for(int j=0,k=0;j<p-1;j++){ 254 while(k<st.size()&&dcmp(tmp[j].ang-st[k].ang)>0) k++; 255 while(k<st.size()&&dcmp(st[k].ang-tmp[j+1].ang)<0){ 256 if(tmp[j]!=st[k]) in[j].pb(st[k]); 257 k++; 258 } 259 } 260 db sum=dis(convex[l],convex[i])+dis(convex[i],convex[i+1]); 261 for(int j=0;j<p-1;j++) sum-=dis(tmp[j],tmp[j+1]); 262 for(int j=1;j<p-1;j++){ 263 int t=0; 264 ins[t++]=tmp[j-1]; 265 for(int k=0;k<in[j-1].size();k++){ 266 while(t>1&&dcmp(cross(ins[t-1]-ins[t-2],in[j-1][k]-ins[t-1]))<0) t--; 267 ins[t++]=in[j-1][k]; 268 } 269 for(int k=0;k<in[j].size();k++){ 270 while(t>1&&dcmp(cross(ins[t-1]-ins[t-2],in[j][k]-ins[t-1]))<0) t--; 271 ins[t++]=in[j][k]; 272 } 273 while(t>1&&dcmp(cross(ins[t-1]-ins[t-2],tmp[j+1]-ins[t-1]))<0) t--; 274 ins[t++]=tmp[j+1]; 275 276 db now=sum+dis(tmp[j-1],tmp[j])+dis(tmp[j],tmp[j+1]); 277 for(int k=0;k<t-1;k++) now-=dis(ins[k],ins[k+1]); 278 ans=max(ans,now); 279 } 280 st.clear(); 281 for(int j=0;j<p;j++) in[j].clear(); 282 } 283 printf("%.12f\n",(double)ans); 284 return 0; 285 }
