P9482 [NOI2023] 字符串

题意

给定一个字符串 $s$，令 $s^R$ 表示 $s$ 翻转后的结果。$q$ 次询问，每次询问给定 $i,r$，求有多少个 $1\le l\le r$ 满足 $s_{i\cdots i+l-1}<s_{i+l\cdots i+2l-1}^R$。

多测，$T\le 5,n,q\le {10}^5$

分析

如果直接比较那么会非常难做。而我们知道比较子串字典序大小天然适合后缀数组，于是考虑将正串和反串用特殊字符拼在一起做 SA。但比较子串仍然比较难做，我们考虑把比较子串转化为比较前缀或者后缀，即 $s_{i\cdots i+l-1}<s_{i+l\cdots i+2l-1}^R\to su{f}_i<pr{e}_{i+2l-1}$。那么 $su{f}_i$ 的排名比 $pr{e}_{i+2l-1}$ 是满足题目限制的一个必要但不充分的条件。用这个东西减去发生错误的情况数就可得出答案。把每个反串视为点 $(i,r{k}_{pr{e}_i})$，那么每次查询就是二维数点，树状数组即可。

这个条件会发生错误当且仅当 $s_{i\cdots i+2l-1}$ 是一个回文串且 $su{f}_{i+2l}<pr{e}_{i-1}$。我们考虑每个回文中心 $(i,i+1)$，设其最大回文半径为 $r$，那么若 $[i+1-r,i+r]$ 会发生错误当且仅当 $su{f}_{i+r+1}<pr{e}_{i-r}$。因为 $r$ 是最大回文半径，所以必有 $s_{i+r+1}\ne s_{i-r}$，所以比较这两个东西的大小即可。那么对于以其为回文中心的其他回文串，根据回文串的定义，$su{f}_{i+r^{\prime }+1}$ 和 $pr{e}_{i-r^{\prime }}$ 第一个发生不同的地方必然在 $s_{i+r+1}$ 和 $s_{i-r}$。

我们将所有“合法”（即 $s_{i+r+1}<s_{i-1}$）的回文中心求出，此时我们将每个回文串视为点 $(j,i+1)$，表示该回文串以 $j$ 为起点，回文中心在 $(i,i+1)$。显然这也是二维数点问题，树状数组即可。注意要给 $s_0,s_{n+1}$ 赋成极小字符，且 $s_0<s_{n+1}$。

总时间复杂度 $O(n\log n)$。

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#include<cassert>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P0 puts("0")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define un using namespace
#define il inline
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
#define popc __builtin_popcountll
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);++a)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);--a)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=(d))
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=(d))
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
#define lson(x) ((x)<<1)
#define rson(x) ((x)<<1|1)
//#define double long double
//#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
using i64=long long;
using u64=unsigned long long;
using pii=pair<int,int>;
template<typename T1,typename T2>inline void ckmx(T1 &x,T2 y){x=x>y?x:y;}
template<typename T1,typename T2>inline void ckmn(T1 &x,T2 y){x=x<y?x:y;}
inline auto rd(){
	int qwqx=0,qwqf=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')qwqf=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){qwqx=(qwqx<<1)+(qwqx<<3)+ch-48;ch=getchar();}return qwqx*qwqf;
}
template<typename T>inline void write(T qwqx,char ch='\n'){
	if(qwqx<0){qwqx=-qwqx;putchar('-');}
	int qwqy=0;char qwqz[40];
	while(qwqx||!qwqy){qwqz[qwqy++]=qwqx%10+48;qwqx/=10;}
	while(qwqy--)putchar(qwqz[qwqy]);if(ch)putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=2e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,Q;
char t[maxn],s[maxn];
int sa[maxn],rk[maxn],id[maxn],nrk[maxn],prk[maxn<<1];
int cnt[maxn];
bool cmp(int x,int y,int z){
	return prk[x]==prk[y]&&prk[x+z]==prk[y+z];
}
void SA(int n){
	int m=127;
	rep(i,1,m)cnt[i]=0;
	rep(i,n+1,n<<1)prk[i]=0;
	rep(i,1,n)cnt[rk[i]=s[i]]++;
	rep(i,2,m)cnt[i]+=cnt[i-1];
	per(i,n,1)sa[cnt[rk[i]]--]=i;
	for(int j=1,p=0;j<n&&p<n;j<<=1,m=p,p=0){
		rep(i,n-j+1,n)id[++p]=i;
		rep(i,1,n)if(sa[i]>j)id[++p]=sa[i]-j;
		rep(i,1,m)cnt[i]=0;
		rep(i,1,n)cnt[nrk[i]=rk[id[i]]]++;
		rep(i,2,m)cnt[i]+=cnt[i-1];
		per(i,n,1)sa[cnt[nrk[i]]--]=id[i];
		rep(i,1,n)prk[i]=rk[i];
		p=1,rk[sa[1]]=1;
		rep(i,2,n)rk[sa[i]]=cmp(sa[i-1],sa[i],j)?p:++p;
	}
}
int d[maxn];
void mana(){
	d[1]=0;
	int mid=1,r=1;
	rep(i,2,2*n+1){
		int p=i>r?0:min(r-i,d[2*mid-i]);
		while(s[i+p]==s[i-p])++p;
		d[i]=p;
		if(d[i]+i>r)r=i+d[i],mid=i;
	}
}
int ans[maxn];
struct query{
	int l,r;
}q[maxn];
struct BIT{
	int c[maxn];
	void init(){rep(i,1,n)c[i]=0;}
	void add(int x,int y){while(x<=n)c[x]+=y,x+=lowbit(x);}
	int qry(int x){int res=0;while(x)res+=c[x],x-=lowbit(x);return res;}
	int qry(int l,int r){return qry(r)-qry(l-1);}
} T[2];
int bk[maxn];
vector<tuple<int,int,int> >qq[maxn];
vector<int>ad[maxn],de[maxn];
vector<tuple<int,int,int> >v[maxn];
inline void solve_the_problem(){
	n=rd(),Q=rd(),scanf("%s",t+1);
	rep(i,1,n)s[i]=t[i],s[i+n+1]=t[n-i+1];
	s[n+1]='#';
	SA(2*n+1);
//	rep(i,1,n)write(rk[i],32);P__;
//	rep(i,1,n)write(rk[2*n+2-i],32);P__;
	s[0]='!',s[1]='#',s[2*n+2]='@';
	rep(i,1,n)s[i*2]=t[i],s[i*2+1]='#';
	mana();
	rep(i,1,Q)q[i].l=rd(),q[i].r=rd();
	t[0]='0',t[n+1]='1';
	rep(i,1,2*n+1)bk[i]=-1,qq[i].clear();
	rep(i,1,n)bk[rk[2*n+2-i]]=i;
	rep(i,1,Q){
		int l=q[i].l,r=q[i].r;
		qq[rk[l]].pb(make_tuple(l+1,l+2*r-1,i));
	}
	T[0].init(),T[1].init();
	per(i,2*n+1,1){
		for(auto _:qq[i]){
			int l=get<0>(_),r=get<1>(_),id=get<2>(_);
			ans[id]=T[l&1].qry(l,r);
		}
		if(~bk[i]){
			int l=bk[i];
			T[l&1].add(l,1);
		}
	}
//	rep(i,1,Q)write(ans[i]);
	T[0].init();
	rep(i,1,n)ad[i].clear(),de[i].clear(),v[i].clear();
	rep(i,2,n){
		int r=d[2*i-1]/2;
		if(t[i+r]<t[i-r-1]){
			ad[i-r].emplace_back(i),de[i].emplace_back(i);
		}
	}
	rep(i,1,Q){
		int l=q[i].l,r=q[i].r;
		v[l].emplace_back(make_tuple(l+1,l+r,i));
	} 
	rep(i,1,n){
		for(int u:ad[i])T[0].add(u,1);
		for(int u:de[i])T[0].add(u,-1);
		for(auto _:v[i]){
			int l=get<0>(_),r=get<1>(_),id=get<2>(_);
			ans[id]-=T[0].qry(l,r);
		}
	}
	rep(i,1,Q)write(ans[i]);
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=rd();_=rd();
	while(_--)solve_the_problem();
}
/*

*/