P1224 [NOI2013] 向量内积

题意

给定 $n$ 个 $d$ 维向量 $a_i$，求一对合法的 $i,j$ 使得 $a_i\cdot a_j=0$，其中 $\cdot$ 是向量点积，即 $a_i\cdot a_j=\sum _{p=1}^d{a}_{i,p}{a}_{j,p}$。

$n\le {10}^5,d\le 30,2\le k\le 3$

分析

考虑 $k=2$ 怎么做。发现寻找一组解比较困难，考虑随机化。若无解，那么肯定满足 $\mathrm{\forall }i,j,a_i\cdot a_j\equiv 1$。考虑随出一个集合 $S$，并让集合 $S$ 外的 $i$ 与 $S$ 内的所有向量分别做点积并求和（模 $k$ 意义下），若总和为 $|S|modk$，则这个 $i$ 肯定与 $S$ 内的某个点点乘后合法，暴力 check 即可。不难发现每次做一遍成功率至少为 $\frac{1}{2}$，多做几次即可。复杂度 $O(Knd)$，$K$ 为随机次数。

考虑 $k=3$。这时无解，点积的结果可能为 $1$ 或 $2$，相当的不好处理。但是注意到 $1$ 和 $2$ 平方后的结果模 $3$ 意义下均为 $1$，把 $\sum _{p=1}^d{a}_{i,p}{a}_{j,p}$ 转化为 $\sum _{p=1}^d\sum _{q=1}^d{a}_{i,p}{a}_{i,q}{a}_{j,p}{a}_{j,q}$，这样就转化为了 $d\leftarrow d^2$ 的 $k=2$，就好处理了。复杂度 $O(Kn{d}^2)$。

int n,m,d,k;
int a[maxn][maxm],b[maxms];
mt19937 rnd(time(0));
bool flag[maxn];
inline int get(int x,int y){
	return a[x][y/d]*a[x][y%d];
}
inline void solve_the_problem(){
	n=rd(),d=rd(),k=rd(),m=d*d;
	rep(i,1,n)rep(j,0,d-1)a[i][j]=rd()%k;
	rep(_,1,B){
		int tot=0;
		rep(i,1,n)flag[i]=rnd()%2,tot+=flag[i];
		rep(j,0,m-1)b[j]=0;
		rep(i,1,n)if(flag[i])rep(j,0,m-1)b[j]=(b[j]+get(i,j))%k;
		rep(i,1,n)if(!flag[i]){
			int sum=0;
			rep(j,0,m-1)sum=(sum+get(i,j)*b[j])%k;
			if(sum!=tot%k){
				rep(l,1,n)if(flag[l]){
					sum=0;
					rep(j,0,m-1)sum=(sum+get(i,j)*get(l,j))%k;
					if(!sum)return printf("%d %d",min(i,l),max(i,l)),void();
				}
			}
		}
	}
	printf("-1 -1");
}