P8456 「SWTR-8」地地铁铁

题意

给定一张 $n$ 点 $m$ 边的 01 权无向图，求 $(x,y)$ 无序点对的数量使得 $x,y$ 两点间存在一条同时经过 0 权边和 1 权边的简单路径。简单路径的定义是不经过重复点的路径。

$n\le 4\times {10}^5,m\le {10}^6$。

分析

路径问题考虑缩点，因为简单路径的定义是不经过重复点的路径，所以选择点双缩点。

发现满足条件的点对数量直接做有点难做，考虑求不满足条件的点对数量，即，所有 $x,y$ 之间的路径都只包含一种边权，然后用总数减去它。这又可以分为两种情况讨论，$x,y$ 之间的路径都是全 $0$ 或全 $1$，$x,y$ 之间的路径既有全 $0$ 又有全 $1$。

Case 1：$x,y$ 之间的路径都是全 $0$ 或全 $1$

全 $0$ 和全 $1$ 本质相同，不妨考虑全 $0$。

点双基本性质：给定点 $x,y$，必定存在一条简单路径从 $x$ 出发到达 $y$。

点双进阶性质：给定点 $x,y$ 及边 $z$，必定存在一条简单路径从 $x$ 出发，经过 $z$ 边到达 $y$。不会严谨证明 感性理解即可。

由此有结论：若点双 $S$ 内包含一条 $1$ 边，则经过该点双的所有路径均不合法。

考虑建出圆方树，若一个点双 $S$ 不合法，那么说明两个点在圆方树上的路径不能经过该点双所对应的方点。也就是说，所有不合法的点双（方点）把圆方树分成了若干个连通块。这部分的答案就是所有连通块内圆点数量选 2 之和。

最后需要求一条边所属的点双。还是在圆方树上考虑问题，发现一定是两端点中深度最深的那个点的父亲方点。

Case 2：$x,y$ 之间的路径既有全 $0$ 又有全 $1$

不难发现若满足条件则全 $0$ 路径和全 $1$ 路径初端点外不能有交。也就是说所有合法点对均在一个点双里。

结论：一个点双里至多有一对合法点对。感性理解，若存在另一组合法点对，则可以构造出一条合法点对之间同时经过 0 权和 1 权的路径。

现在只需要判断是否存在这样的点对即可。

还有结论：若恰好存在两个点满足该点在点双内同时有 0 权和 1 权的出边，则存在这样的点对。必要性显然，充分性感性理解。

时间复杂度 $O(n+m)$。

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#include<random>
#include<cassert>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P0 puts("0")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define un using namespace
#define il inline
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
#define popc __builtin_popcountll
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);++a)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);--a)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=(d))
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=(d))
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
#define lson(x) ((x)<<1)
#define rson(x) ((x)<<1|1)
//#define double long double
//#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
using i64=long long;
using u64=unsigned long long;
using pii=pair<int,int>;
template<typename T1,typename T2>inline void ckmx(T1 &x,T2 y){x=x>y?x:y;}
template<typename T1,typename T2>inline void ckmn(T1 &x,T2 y){x=x<y?x:y;}
inline auto rd(){
	int qwqx=0,qwqf=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')qwqf=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){qwqx=(qwqx<<1)+(qwqx<<3)+ch-48;ch=getchar();}return qwqx*qwqf;
}
template<typename T>inline void write(T qwqx,char ch='\n'){
	if(qwqx<0){qwqx=-qwqx;putchar('-');}
	int qwqy=0;char qwqz[40];
	while(qwqx||!qwqy){qwqz[qwqy++]=qwqx%10+48;qwqx/=10;}
	while(qwqy--)putchar(qwqz[qwqy]);if(ch)putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=4e5+5,maxm=1e6+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,m;
i64 ans;
struct edge{
	int u,v,w;
}e[maxm];
vector<pii>G[maxn];
vector<int>E[2];
void add(int x,int y,int z){
	G[x].emplace_back(mp(y,z)),G[y].emplace_back(mp(x,z));
}
int dfn[maxn],low[maxn],dfncnt;
int sta[maxn],tp;
int sc;
vector<int>v[maxn];
int bel[maxm];
void tar(int x,int y){
	dfn[x]=low[x]=++dfncnt,sta[++tp]=x;
	for(pii _:G[x]){
		int u=_.fi;
		if(!dfn[u]){
			tar(u,x);
			ckmn(low[x],low[u]);
			if(low[u]>=dfn[x]){
				++sc;int nw;
				do{nw=sta[tp],v[sc].emplace_back(nw),--tp;}while(nw^u);
				v[sc].emplace_back(x);
			}
		}else if(u^y){
			ckmn(low[x],dfn[u]);
		}
	}
}
vector<int>H[maxn<<1];
bool vis[maxn<<1];
void add_tree(int x,int y){
	H[x].emplace_back(y),H[y].emplace_back(x);
}
i64 calc(int x){
	return 1ll*x*(x-1)/2;
}
int dep[maxn<<1],fa[maxn<<1];
void dfs0(int x,int y){
	fa[x]=y,dep[x]=dep[y]+1;
	for(int u:H[x])if(u^y)dfs0(u,x);
}
int siz[maxn<<1];
void dfs(int x,int y){
	siz[x]=(x<=n);
	for(int u:H[x])if(u^y){
		dfs(u,x);
		if(vis[x])ans-=calc(siz[u]);
		else siz[x]+=siz[u];
	}
}
vector<int>be[maxn];
int S[maxn];
inline void solve_the_problem(){
	n=rd(),m=rd();
	rep(i,1,m){
		int x,y;char z;
		x=rd(),y=rd(),z=gc();
		int t=z=='D';
		e[i]=(edge){x,y,t};
		add(x,y,i),E[t].emplace_back(i);
	}
//	PU;
//	rep(i,1,m)write(e[i].u,32),write(e[i].v,32),write(e[i].w);	
	ans=calc(n);
	tar(1,0);
	rep(i,1,sc)for(int u:v[i])add_tree(u,i+n);
	dfs0(1,0);
	rep(i,1,m){
		int x=e[i].u,y=e[i].v;
		if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
		bel[i]=fa[x]-n,be[bel[i]].emplace_back(i);
	}
//	write(sc);
//	rep(i,1,sc){
//		for(int u:v[i])write(u,32);P__;
//	}
//	rep(i,1,m)write(bel[i],32);P__;
	rep(c,0,1){
		rep(i,1,n+sc)vis[i]=0,siz[i]=0;
		for(int i:E[c^1])vis[bel[i]+n]=1;
		dfs(1,0);
		ans-=calc(siz[1]);
	}
	rep(i,1,sc){
		for(int u:v[i])S[u]=0;
		int sum=0;
		for(int u:be[i]){
			int x=e[u].u,y=e[u].v,z=e[u].w;
			S[x]|=(1<<z),S[y]|=(1<<z);
		}
		for(int u:v[i])if(S[u]==3)++sum;
		if(sum==2)--ans;
	}
	write(ans);
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int ID=rd(),_=1;
	while(_--)solve_the_problem(),--ID;
}
/*
0
4 3
1 2 d
2 3 D
3 4 d
*/