CF2048G Kevin and Matrices

题意

对满足以下条件的大小为 $n \times m$ 值域为 $[1, k]$ 的矩阵计数：

$min_{1 \leq i \leq n} (max_{1 \leq j \leq m} a_{i, j}) \leq max_{1 \leq j \leq m} ({min}_{i = 1}^{n} a_{i, j})$

模数 $998244353$ 。

$n k \leq 10^{6}, m \leq 10^{9}$

分析

不妨记 $r_{i} = max_{1 \leq j \leq m} a_{i, j}, c_{j} = min_{1 \leq i \leq n} a_{i, j}$ ，我们需要 $min_{i} r_{i} \leq max_{j} c_{j}$ ，换句话说，需要存在至少一对 $i, j$ 使得 $r_{i} \leq c_{j}$ 。

性质 1：若 $r_{i} \leq c_{j}$ ，则 $r_{i} = c_{j} = a_{i, j}$ 。

证明： $a_{i, j} \leq r_{i} \leq c_{j} \leq a_{i, j}$ 。

性质 2：若 $i_{1} \neq i_{2}, j_{1} \neq j_{2}$ ， $r_{i_{1}} \leq c_{j_{1}}, r_{i_{2}} \leq c_{j_{2}}$ ，则
$r_{i_{1}} = r_{i_{2}} = c_{j_{1}} = c_{j_{2}}$ 。

证明： $c_{j_{2}} \leq a_{i_{1}, j_{2}} \leq r_{i_{1}}, c_{j_{1}} \leq a_{i_{2}, j_{1}} \leq r_{i_{2}}$ ，由于 $r_{i_{1}} \leq c_{j_{1}}, r_{i_{2}} \leq c_{j_{2}}$ ，性质 2 自然成立。

考虑容斥，钦定一部分点 $(i, j)$ 满足 $r_{i} \leq c_{j}$ ，根据性质 2，被钦定的点一定形如 $(x, y), S \subseteq {1, 2, \dots, n}, T \subseteq {1, 2, \dots, m}, x \in S, y \in T$ 。简单来说就是 $| S |$ 条横线和 $| T |$ 条竖线形成的所有网格格点。

枚举 $x, y$ （式子里的 $i, j$ ）以及矩阵内填的数 $p$ （根据性质 1 和性质 2 矩阵内的数相同），可以得出式子

a n s = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} (- 1)^{x + y} (\binom{n}{i}) (\binom{m}{j}) \sum_{z = 1}^{k} k^{(n - i) (m - j)} z^{x (m - y)} (k - z + 1)^{y (n - x)}

由于 $i = 1, j = 1$ 对答案的贡献为正，所以不需要额外乘 $- 1$ 。

将 $j$ 枚举到后面并二项式定理，推一推可得

a n s = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{p = 1}^{k} (- 1)^{i} p^{m i} (\binom{n}{i}) (k^{n - i} - \frac{q^{n}}{(p q)^{i}})^{m} - k^{m (n - i)}

时间复杂度 $O (n k \log m)$ 。

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
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#include<algorithm>
#include<cmath>
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#include<bitset>
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#include<ctime>
#include<random>
#include<cassert>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P0 puts("0")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define un using namespace
#define il inline
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
#define popc __builtin_popcountll
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);++a)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);--a)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=(d))
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=(d))
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
#define lson(x) ((x)<<1)
#define rson(x) ((x)<<1|1)
//#define double long double
#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
using i64=long long;
using u64=unsigned long long;
using pii=pair<int,int>;
template<typename T1,typename T2>inline void ckmx(T1 &x,T2 y){x=x>y?x:y;}
template<typename T1,typename T2>inline void ckmn(T1 &x,T2 y){x=x<y?x:y;}
inline auto rd(){
	int qwqx=0,qwqf=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')qwqf=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){qwqx=(qwqx<<1)+(qwqx<<3)+ch-48;ch=getchar();}return qwqx*qwqf;
}
template<typename T>inline void write(T qwqx,char ch='\n'){
	if(qwqx<0){qwqx=-qwqx;putchar('-');}
	int qwqy=0;char qwqz[40];
	while(qwqx||!qwqy){qwqz[qwqy++]=qwqx%10+48;qwqx/=10;}
	while(qwqy--)putchar(qwqz[qwqy]);if(ch)putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=1e6+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=998244353;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,m,k;
int ksm(int x,int y){
	int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)if(y&1)res=res*x%mod;
	return res;
}
int fac[maxn],inv[maxn];
void init(int lim=1e6){
	fac[0]=1;rep(i,1,lim)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[lim]=ksm(fac[lim],mod-2);per(i,lim-1,0)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
int C(int x,int y){
	return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}
inline void solve_the_problem(){
	n=rd(),m=rd(),k=rd();
	int ans=0;
	rep(i,1,n)rep(p,1,k){
		const int q=k-p+1;
		int f1=(ksm(k,n-i)+mod-ksm(q,n)*ksm(ksm(p*q%mod,i),mod-2)%mod)%mod,f2=ksm(k,m*(n-i));
		f1=(ksm(f1,m)-f2+mod)%mod;
		int res=ksm(p,m*i)*C(n,i)%mod*f1%mod;
		if(i&1)ans=(ans+mod-res)%mod;
		else ans=(ans+res)%mod;
	}
	write(ans);
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=rd();init();
	while(_--)solve_the_problem();
}
/*

*/