UOJ37 【清华集训2014】主旋律（SCC/DAG 状态压缩）

题意

求一个有向图 $G$ 删掉一些边后原图仍强连通的方案数。模数 $10^{9} + 7$ 。

$n \leq 15, m \leq n (n - 1)$

分析

SCC 状压有一个非常经典的“耳分解”：以 SCC 内两个点（可以相同）为起点、终点，找一条除两端外不在 SCC 内的链，然后加进去。但是这里要求方案数，耳分解失效，考虑别的方法。

我们知道，DAG 计数的经典方法是枚举点集的一个非空子集 $T$ ，并钦定 $T$ 是入度为 0 的点的集合。但是实际情况中 $T$ 不一定是所有入度为 0 的点，所以考虑容斥，有结论是： $T$ 的容斥系数为 $(- 1)^{| T | - 1}$ 。设 $f_{S}$ 表示 $S$ 点集形成 DAG 的方案数，有转移 $f_{S} \leftarrow (- 1)^{| T | - 1} 2^{c n t_{T \to S / T}} f_{S / T}$ ， $c n t_{S \to T}$ 表示起点在 $S$ 终点在 $T$ 的边数。

回到原问题，设 $f_{S}$ 表示 $S$ 点集形成 SCC 的方案数。正着做有点困难，设 $e d g e_{S}$ 表示 $S$ 内部的边数，考虑用 $2^{e d g e_{S}}$ 减去不为 SCC 的方案数，后者相当于求缩点后形成 DAG 且点数 $\geq 2$ 的方案数。套用 DAG 计数的经典做法，枚举入度为 $0$ 的子集 $T$ （ $T$ 可以等于 $S$ ，但此时 $T$ 内部必须形成 $\geq 2$ 个 SCC），那么 $S / T$ 内部的以及 $T \to S / T$ 的边任意连， $S / T \to T$ 的边不能连，此时若 $T$ 中 SCC 个数为 $t$ ，那么容斥系数就是 $(- 1)^{t - 1}$ ，考虑设 $g_{S}$ 表示 $S$ 内形成若干个 SCC 的带容斥系数方案数，转移就是 $g_{S} = - \sum_{T \subset S} g_{S - T} f_{T}$ ，为了避免算重， $T$ 必须包含 $S$ 的最低位。最终 DP 式子就是

f_{S} = 2^{e d g e_{S}} - \sum_{T \subseteq} 2^{e d g e_{S / T} + c n t_{T \to S - T}} g_{T}

最后别忘了把 $g_{S} = g_{S} + f_{S}$ 。

const int maxn=16,maxm=1<<15,maxk=14348907,mod=1e9+7;
int n,m;
bool vis[maxn][maxn];
int e[maxn][maxm];
int edge[maxm];
int pw[maxn*maxn];
int f[maxm],g[maxm],h[maxk];
int to[maxm];
inline bool in(int S,int x){return (S>>(x-1))&1;}
inline void adder(int &x,int y){x+=y,x=x>=mod?x-mod:x;}
inline void suber(int &x,int y){x-=y,x=x<0?x+mod:x;}
inline void solve_the_problem(){
	n=rd(),m=rd();
	rep(i,1,m){
		int x=rd(),y=rd();
		vis[x][y]=1;
	}
	pw[0]=1;rep(i,1,m)pw[i]=pw[i-1]*2%mod;
	const int U=(1<<n)-1;
	rep(S,0,U)rep(i,1,n)if(in(S,i))rep(j,1,n)if(in(S,j))edge[S]+=vis[i][j];
	rep(i,1,n)rep(S,0,U)rep(j,1,n)if(in(S,j))e[i][S]+=vis[i][j];
	rep(S,0,U)rep(i,1,n)to[S]=to[S]*3+in(S,i);
	rep(S,1,U){
		int p=__builtin_ctz(S),S0=S^(1<<p),S1=U^S;
		for(int T=S1;T;T=(T-1)&S1){
			h[to[S|T]+to[S]]=h[to[S0|T]+to[S0]]+e[p+1][T];
		}
	}
	rep(S,0,U)f[S]=pw[edge[S]];
	rep(S,1,U){
		int p=__builtin_ctz(S);
		for(int T=(S-1)&S;T;T=(T-1)&S)if((T>>p)&1){
			suber(g[S],g[S^T]*f[T]%mod);
		}
		for(int T=S;T;T=(T-1)&S){
			suber(f[S],pw[edge[S^T]+h[to[S]+to[T]]]*g[T]%mod);
		}
		adder(g[S],f[S]);
	}
	write(f[U]);
}