P3175 [HAOI2015] 按位或（min-max 容斥）

题意

有一个初始为 $0$ 的变量 $x$，每次操作会以 $p_i$ 的概率选择位于 $[0,2^n)$ 中的某个整数 $i$，并将 $x$ 或上 $i$。问期望几次操作后 $x=2^n-1$。

$n\le 20,\sum p_i=1$

引入：min-max 容斥

以两个式子入手：

$$max(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}min(T)$$

$$min(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}max(T)$$

两个式子的证明都大差不差，不妨证明第一个。

令 $S=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$，其中 $a_1<a_2<\cdots <a_n$，考虑拆贡献，求出每个 $a_i$ 对 $max(S)$ 的贡献的系数是多少。

不妨钦定 $a_i$ 就是 $min(T)$，那么 $a_i$ 往后的元素都可以任意选，那 $a_i$ 的系数就是 $\sum _{j=0}^{n-i}(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{j})$，这里是 $(-1{)}^j$ 不是 $(-1{)}^{j+1}$ 的原因是我们已经钦定 $a_i$ 选了，所以少乘一个 $-1$ 的系数。二项式定理可得 $\sum _{j=0}^{n-i}(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{j})=(1-1{)}^{n-i}=[n=i]$。也就是说，如果 $a_i$ 不是 $a_n$ 那么系数为 0，否则为 1。$a_n$ 即是最大值，得证。

这个东西在一般的求最小值的题目下可能没啥用，但是这个东西在期望的意义下也是成立的（期望的线性性），即：

$$E(max(S))=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}E(min(T))$$

$$E(min(S))=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}E(max(T))$$

当 $E(max)$ 或 $E(min)$ 不好求且另外一个相对好求时，我们可以使用 min-max 容斥解决题目。

分析

将 $x$ 拆位，设 $t_i$ 表示第 $i$ 位变成 1 的时刻，那么我们要求的就是 $E(max(t_i))$。

考虑 min-max 容斥，将式子变为 $\sum _{T\subseteq \{1,2,\cdots ,n\},T\ne \mathrm{\varnothing }}E(min(T))$。

我们有结论：设 $p$ 表示选中与 $T$ 有交的数的概率，那么有 $E=\frac{1}{p}$。

证明：

将期望按照定义展开，$E=p(1-p{)}^0+2p(1-p{)}^1+3p(1-p{)}^2+\cdots$，考虑错位相减，$(1-p)E=p(1-p{)}^1+2p(1-p{)}^2+3p(1-p{)}^3+\cdots$，相减得 $pE=p(1-p{)}^0+p(1-p{)}^1+p(1-p{)}^2+\cdots$，也即 $E=(1-p{)}^0+(1-p{)}^1+(1-p{)}^2+\cdots$，套用等比数列求和公式得 $E=\frac{1}{p}$。

当然也有另外一种证法，考虑 DP，将 $E$ 视为一个 DP 状态，有转移 $E=1+(1-p)E$，意义就是，我花费了一次操作，如果随到了与 $T$ 有交的数（概率为 $p$），就结束了，否则要继续操作，此时局面和操作前一样，所以从 $(1-p)E$ 转移来。解方程得 $E=\frac{1}{p}$。

问题转化成了求 $p$。正着做稍微有点困难，考虑求选中与 $T$ 无交的数的概率，即 $1-p$，不难发现这其实就是 $T$ 的补集的所有子集的概率之和，高维前缀和即可。

还有一个小细节，当 $p=0$ 时，此时 $\frac{1}{p}$ 等于无穷大，所以要再开一个数组 $cnt$ 记录 $\frac{1}{0}$ 的系数是多少，若不为 0 则输出 INF。

时间复杂度 $O(n{2}^n)$。

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#include<cassert>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P0 puts("0")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define un using namespace
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);++a)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);--a)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=(d))
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=(d))
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
#define lson(x) ((x)<<1)
#define rson(x) ((x)<<1|1)
//#define double long double
//#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
using i64=long long;
using u64=unsigned long long;
using pii=pair<int,int>;
template<typename T1,typename T2>inline void ckmx(T1 &x,T2 y){x=x>y?x:y;}
template<typename T1,typename T2>inline void ckmn(T1 &x,T2 y){x=x<y?x:y;}
inline auto rd(){
	int qwqx=0,qwqf=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')qwqf=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){qwqx=(qwqx<<1)+(qwqx<<3)+ch-48;ch=getchar();}return qwqx*qwqf;
}
template<typename T>inline void write(T qwqx,char ch='\n'){
	if(qwqx<0){qwqx=-qwqx;putchar('-');}
	int qwqy=0;char qwqz[40];
	while(qwqx||!qwqy){qwqz[qwqy++]=qwqx%10+48;qwqx/=10;}
	while(qwqy--)putchar(qwqz[qwqy]);if(ch)putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=21,maxm=(1<<20),inf=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-10;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,m;
double a[maxm],f[maxm];
inline void solve_the_problem(){
	n=rd(),m=(1<<n);
	rep(i,0,m-1)scanf("%lf",&a[i]);
	rep(i,0,m-1)f[i]=a[i];
	rep(j,0,n-1)rep(i,0,m-1)if((i>>j)&1)f[i]+=f[i^(1<<j)];
	double ans=0;
	int cnt=0;
	rep(S,1,m-1){
		double p=1-f[(m-1)^S];
		int siz=__builtin_popcount(S);
		if(p<eps){
			if(siz&1)++cnt;
			else --cnt;
		}else{
			if(siz&1)ans+=1.0/p;
			else ans-=1.0/p;
		}
	}
	if(cnt)puts("INF");
	else printf("%.9lf",ans);
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=1;
	while(_--)solve_the_problem();
}
/*

*/