一类特殊背包问题

题意

$n$ 个物品，体积 $v_i$ 价值 $w_i$，做 01 背包，$n\le {10}^6,m\le 5\times {10}^4,v_i\le 300$。

原题忘了叫啥了。

分析

发现 $v_i$ 非常小，考虑把物品按照体积分类，逐类处理。

对于体积为 $i$ 的物品，我们肯定要按照价值从大到小取。将这些物品排序做前缀和，设选前 $i$ 大的数的和为 $s_i$，则 $s_i$ 是上凸的。

显然有转移 $f_j=max(f_j,f_{j-k\times i}+s_k)$。不难发现转移中下标模 $i$ 不同的状态是独立的，所以我们可以考虑按照模 $i$ 的余数进一步分类处理，那么转移方程可以写成 $f_j^{\prime }=max(f_j^{\prime },f_{j-k}^{\prime }+s_k)$，由于 $s_k$ 是一个上凸函数，其满足四边形不等式“交叉大于包含”，所以 $f_j^{\prime }$ 的转移具有决策单调性（简证：$s_{k+1}-s_k<s_k-s_{k-1}\to 2s_k>s_{k-1}+s_{k+1}$），可以分治解决。时间复杂度 $O(mv\log m)$。

代码：

int n,m;
int k;
i64 f[maxm],g[maxm],h[maxm];
vector<int>v[maxn];
vector<i64>s;
void solve(int l,int r,int L,int R,const int id){
	if(l>r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	i64 res=0;
	int p=mid;
	rep(i,max(L,mid-(int)v[id].size()),min(R,mid-1)){
		i64 ret=g[i]+s[mid-i-1];
		if(ret>res)res=ret,p=i;
	}
	h[mid]=res;
	if(l==r)return;
	solve(l,mid,L,p,id),solve(mid+1,r,p,R,id);
}
inline void solve_the_problem(){
	n=rd(),m=rd();
	rep(i,1,n){
		int x=rd(),y=rd();
		v[x].emplace_back(y);
	}
	rep(i,1,w)if(!v[i].empty()){
		sort(all(v[i]),greater<int>());
		s.assign(v[i].size(),0);
		s[0]=v[i][0];
		rep(j,1,(int)v[i].size()-1)s[j]=s[j-1]+v[i][j];
		rep(d,0,i-1){
			k=0;
			reprange(j,d,m,i)g[++k]=f[j];
			solve(1,k,1,k,i);
			rep(j,1,k)ckmx(f[(j-1)*i+d],h[j]);
		}
	}
	rep(i,1,m)ckmx(f[i],f[i-1]);
	rep(i,1,m)write(f[i],32);
}