P9896 [ICPC2018 Qingdao R] Sub-cycle Graph

小清新计数题，但我为什么不会呢？？？

题意

对满足以下条件的 $n$ 点 $m$ 边无向简单图计数，对 ${10}^9+7$ 取模。

• 存在一种方案使得添加若干条边后该图能变成一个简单环。

$n\le {10}^5,\sum n\le 3\times {10}^7,m\le \frac{n(n-1)}{2}$

分析

首先 $m$ 没啥用，因为 $m>n$ 一定无解，然后 $m=0$ 答案为 1，$m=n$ 答案为 ${\displaystyle \frac{(n-1)!}{2}}$（注意一个环会被正反算两遍）。原题转化为将图分成 $k=n-m$ 条链的方案数。

考虑先用 $n!$ 种方案把点赋上编号，然后用插板法将所有点分成 $k$ 份，首先每种分法会被算 $k!$ 次，其次每个二元以上链会被正反算两次，再除以 $2^{cnt}$，其中 $cnt$ 表示长度 $\ge 2$ 的链的数量。考虑枚举孤点的数量 $i$，首先选孤点的方案数为 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}$，然后 $cnt$ 被固定成 $k-i$，再套用上述做法即可。注意此时插板要求板间元素数 $\ge 2$，可以强制钦定每个块内自带一个元素，然后转化为非空插板问题。

最终式子：$\sum _{i=0}^{k}n!{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{\displaystyle \frac{{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k-1}{k-i-1})}}{2^{k-i}(k-i)!}}$

时间复杂度线性。