[ZR] 绝对值划分

source：zr 二十联测 day19 C

题意

定义序列 $\{a_i\}$ 的权值为序列中元素之和的绝对值。

定义一个序列的划分 $p_1,p_2,\cdots ,p_k=n$ 为将序列 $\{a_i\}$ 划分成了 $[1,p_1],[p_1+1,p_2],\cdots ,[p_k+1,n]$ 这 $k$ 段。定义划分的权值为其划分出来的 $k$ 个子段的权值的最小值。

$q$ 次操作，包含单点修改 $a_i$、区间查询 $a_{[l,r]}$ 的划分的最大权值。

$n,q\le {10}^6$

分析

性质 1：划分的每一段的和一定是正负交替出现。

将两个相邻的、同号的子段合并显然不劣。

性质 2：划分的段数不超过 3。

考虑中间的任意两个相邻的子段 $i,i+1$，显然 $i-1,i+2$ 的两个子段正负号不同。不妨令 $i-1$ 子段和为正。若这两个子段的和为正，则可以跟 $i-1$ 子段合并；若为负则跟 $i+2$ 子段合并。

令前缀和数组为 $s_i$，查询区间为 $(l,r]$。

划分段数为 1 显然。

若划分段数为 2，则我们需要求 $\underset{p}{max}min(|s_p-s_l|,|s_r-s_p|)$。不难发现当 $p$ 取到 $s_p$ 为区间最大值/最小值时最优。

若划分段数为 3，不妨设 $s_l\le s_r$，令划分方案为 $(l,u],(u,v],(v,r]$。

性质 3： 存在最优解使得第一个子段（令其为 $b_1$）必定为正。

若其为负，则 $u$ 取在 $s_i$ 最小值处最优，此时划分段数为 2 显然不劣。

性质 4：划分点 $u,v$ 必定满足 $s_u>s_r,s_v<s_l$。

若不满足，因为三个子段的正负号分别为正负正，则 $s_u,s_v$ 必定有至少一个在 $[s_l,s_r]$ 内，此时划分段数为 1 更优。

根据性质 4，此时的答案转化成了 $min(s_u-s_l,s_r-s_v)$（$s_u-s_v$ 显然比这两个东西大），由于 $u<v$，所以此时我们可以考虑枚举分界线指针，让 $u$ 为左区间最大值，$v$ 为右区间最小值即可。

发现 $min(s_u-s_l,s_r-s_v)$ 是个单峰的东西（前者随指针右移而增大，后者随指针右移而减小），用线段树维护 $s_i$，在线段树上二分即可。

考虑怎么把复杂度做到一老哥。考虑在线段树上把询问区间拿出来，形成 $O(\log n)$ 个区间，先在这些区间上面执行上述流程（实际上枚举就行），然后找到一个最优区间，在该区间内线段树上二分即可。