全零子矩形计数问题

经典问题，但是我为什么不会呢？？？？？

题意

给定一张 $n\times m$ 的 01 矩阵，求出有多少个子矩阵使得子矩阵内没有 1。

$n,m\le {10}^3$

分析

考虑枚举每一行，计算以该行上每个点为右下角的合法子矩形个数 $\sum su{m}_{i,j}$，也就是说，计算左上角的个数使得左上角和该右下角形成的子矩形不包含 1。

其实到这里已经可以思考单调栈了，但是为了捋顺思路，我们还是考虑对于每一行，只有该列上方的第一个 1 会对子矩形大小产生限制，而在某一个 1 往左的比该 1 所在行数要靠前的那些 1 也不会产生限制。据此我们考虑单调栈，预处理 $u{p}_{i,j}$ 表示 $(i,j)$ 往上第一个 1 和它本身的距离，单调栈里维护一个递增的 $u{p}_{i,j}$ 和 $\sum su{m}_{i,j}$，将比 $u{p}_{i,j}$ 大的点弹完后，令栈顶的列为 $c$，由于单调栈 $up$ 递增，$su{m}_{i,c}$ 的答案可以直接继承到 $su{m}_{i,j}$ 中，额外的贡献还有 $x\in (u{p}_{i,c},u{p}_{i,j}],y\in (c,j]$ 这部分子矩形的点，把它们加进 $su{m}_{i,j}$ 中。

时间复杂度 $O(nm)$。

rep(j,1,m){
	rep(i,1,n){
		if(s[i][j]=='1')up[i][j]=0;
		else up[i][j]=up[i-1][j]+1;
	}
}
int ans=0;
rep(i,1,n){
	tp=0;
	sum[0]=0;
	rep(j,1,m){
		while(tp&&up[i][j]<=up[i][sta[tp]])--tp;
		sum[j]=(sum[sta[tp]]+1ll*(j-sta[tp])*up[i][j]%mod)%mod;
		ans=(ans+sum[j])%mod;
		sta[++tp]=j;
	}
}