[ZR] 城市

source：zr 二十联测 day 15 C

题意

给定 $n$ 个点 $m$ 条边的图，求该图导出连通子图数量对 2 取模的结果。保证一条边两个端点编号差 $\le 13$。

$n\le 50$。

分析

原题相当于求连通块数量为 1 的导出子图的数量。

考虑利用模数为 2 的性质。

性质：答案等于 ${\displaystyle \frac{\sum 2^{f(S)}mod4}{2}}$，其中 $f(S)$ 表示导出子图 $S$ 的连通块数量。

$2^{f(S)}mod4$ 的值仅在 $f(S)=1$ 的情况下为 $2$，其他情况下都为 $0$。故 $\sum 2^{f(S)}mod4=2\sum [f(S)=1]$，而 $\sum [f(S)=1]$ 就是答案。

题目转化为求 $\sum 2^{f(S)}mod4$ 的值。

为 $2^{f(S)}$ 寻找一个组合意义，相当于，对该导出子图染上黑白两种颜色的方案数。转化一下，就是给每个点染黑白两色，使得有边相连的两个点颜色相同。

同理，为 $\sum 2^{f(S)}$ 寻找一个组合意义，相当于，对整个图染上黑白两种颜色或者不染色（不染色表示不在子图中），使得有边相连的两个点颜色相同。

据此可以直接设计 $f_{i,S}$ 表示已经填了 $1\sim i$ 的点，后 $13$ 个点的染色情况是 $S$。转移考虑 $i$ 填什么颜色即可，合法性判断可以 $O(1)$ 做到。于是时间复杂度 $O(n{3}^{13})$。