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source：zr 二十联测 day16 B

题意

给定 $n$ 个数 $a_i$。

每次你需要花费 $c$ 在剩余的数中均匀随机获得一个数，你可以选择留下这个数，此时游戏结束且得分为该数值；否则将这个数扔掉（但不放回），然后游戏继续。

求最大期望。要求时间复杂度 $O(n)$。

分析

将 $a_i$ 降序排序。

首先需要发现，我们的最优策略一定形如 $t_1,t_2,\cdots ,t_k$，表示我在第 $i$ 次游戏时抽到了下标 $\le t_i$ 的数就见好就收，否则把数扔掉。其次一定有 $t_i$ 单调不升。

考虑设计一个暴力 DP。设 $f_{i,j}$ 表示剩下 $i$ 个数，当前极长的没被删的前缀长度为 $j$ 的最大期望。由于 $t_i$ 单调不升，所以在 $i-1$ 决策完之后，$>t_{i-1}$ 的那些数如果抽到是肯定要丢的。转移考虑抽到的是肯定要丢的还是可以决策留不留的，转移方程：$f_{i,j}=\frac{i-j}{i}{f}_{i-1,j}+\frac{\sum _{k=1}^{j}max(a_k,f_{i-1,k-1})}{i}-c$。

裸实现时间复杂度 $O(n^3)$。由于状态数已经达到了平方级别，所以考虑怎么压状态。

考虑到对于那些一定要丢的数，我们并不关心具体选了哪个，所以我们不妨这么考虑：如果删了一定要丢的数，钦定它选了最小的那个数，据此设计 DP 状态为 $f_i$ 表示剩了 $i$ 张牌的最大期望。转移考虑枚举 $t_i=p$：$f_i=\frac{i-p}{i}{f}_{i-1}+\frac{\sum _{i=1}^p{s}_i}{i}$。复杂度平方。

考虑优化。发现 $p$ 指针右移造成的增量为 $f_{i-1}-a_p$，由于 $a_p$ 单调，所以我们实际上只需要找到第一个 $\ge f_{i-1}$ 的 $a_p$ 即可。若采用二分复杂度带老哥，但是发现 $f_i$ 本身也是单调的，据此可以双指针，复杂度线性。