P9466 [EGOI2023] Bikes vs Cars / 骑车与汽车

题意

给定 $B, C$ 两个矩阵，你需要构造一张两权图 $G = (V, E = {(u, v, w_{1}, w_{2})})$ 使得从 $i$ 到 $j$ 之间：

可以只经过 $w_{1} \geq B_{i, j}$ 的边连通
可以只经过 $w_{2} \geq C_{i, j}$ 的边连通
不能只经过 $w_{1} > B_{i, j}$ 的边连通
不能只经过 $w_{2} > C_{i, j}$ 的边连通

构造方案或报告无解，边数限制 2023。

$n \leq 500$ 。

分析

一眼看上去毫无思路，那我们就考虑弱化问题。如果只有 $B$ 的限制该怎么做？

相当于构造一张图使得 $i, j$ 之间路径的最小值的最大值为 $B_{i, j}$ ，这是最大生成树的形式（瓶颈树问题），故考虑构造出原图的最大生成树，那么如果一条边被加进最大生成树内，说明仅靠 $> B_{i, j}$ 的边无法使两点连通，此时加入这条边是合法的，而且是必须加。若一条边没有被加进最大生成树，且 $i, j$ 路径上的边的最小值 $> B_{i, j}$ ，则说明你这条边加不加都能使得大于等于经过该最小值的边权的边使两点连通，那么说明无解。

现在有两个边权了，其实也差不多，对 $B, C$ 分别求出对应的最大生成树，由于可以有重边，所以我们大可不必去考虑边权和为 $W$ 的限制，只需要让一条边的一个权值有用，另一个权值没用就行了。

但直接求最大生成树的并集是错的，因为有可能会出现类似于 $W - B_{i, j} > C_{i, j}$ 的情况，这样的话 $i, j$ 的边权最小值的最大值就是 $W - B_{i, j}$ 了，这时这条边是不合法的，我们在求最小生成树的时候把这条边扔出去即可。

由于有无解情况，最后求出答案后用 floyd 检查一下合法性。

复杂度 $O (n^{3})$ ，边数 $2 n - 2$ 。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#include<cassert>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("NO")
#define PW puts("-1")
#define P0 puts("0")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define un using namespace
#define popc __builtin_popcountll
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);++a)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);--a)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=(d))
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=(d))
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
//#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
using i64=long long;
using u64=unsigned long long;
using pii=pair<int,int>;
inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
template<typename T>
inline void write(T x,char ch='\0'){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	int y=0;char z[40];
	while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
	while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=505,maxm=2.5e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,W;
int c[maxn][maxn],b[maxn][maxn];
int a[2][maxn][maxn];
struct edge{
	int u,v,w;
	edge(int _u=0,int _v=0,int _w=0){u=_u,v=_v,w=_w;}
	bool operator<(const edge &p)const{return w>p.w;}
}e[maxm];
int fa[maxn];
int getf(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=getf(fa[x]);}
vector<edge>E;
inline void solve_the_problem(){
	n=rd(),W=rd();
	rep(i,1,n)rep(j,1,i-1)c[j][i]=rd();
	rep(i,1,n)rep(j,1,i-1)b[j][i]=rd();
	mem(a,~0x3f);
	int cnt,tot;
	cnt=0;rep(i,1,n)rep(j,i+1,n)if(b[i][j]+c[i][j]>=W)e[++cnt]=(edge){i,j,b[i][j]};
	sort(e+1,e+cnt+1);
	rep(i,1,n)fa[i]=i;
	tot=0;
	rep(i,1,cnt){
		int gx=getf(e[i].u),gy=getf(e[i].v);
		if(gx==gy)continue;
		fa[gx]=gy,++tot;
		a[0][e[i].u][e[i].v]=a[0][e[i].v][e[i].u]=max(a[0][e[i].u][e[i].v],e[i].w);
		a[1][e[i].u][e[i].v]=a[1][e[i].v][e[i].u]=max(a[1][e[i].u][e[i].v],W-e[i].w);
		E.emplace_back(edge(e[i].u,e[i].v,e[i].w));
	}
	if(tot!=n-1)return (void)PN;
	
	cnt=0;rep(i,1,n)rep(j,i+1,n)if(b[i][j]+c[i][j]>=W)e[++cnt]=(edge){i,j,c[i][j]};
	sort(e+1,e+cnt+1);
	rep(i,1,n)fa[i]=i;
	tot=0;
	rep(i,1,cnt){
		int gx=getf(e[i].u),gy=getf(e[i].v);
		if(gx==gy)continue;
		fa[gx]=gy,++tot;
		a[1][e[i].u][e[i].v]=a[1][e[i].v][e[i].u]=max(a[1][e[i].u][e[i].v],e[i].w);
		a[0][e[i].u][e[i].v]=a[0][e[i].v][e[i].u]=max(a[0][e[i].u][e[i].v],W-e[i].w);
		E.emplace_back(edge(e[i].u,e[i].v,W-e[i].w));
	}
	if(tot!=n-1)return (void)PN;
	
	rep(_,0,1)rep(k,1,n)rep(i,1,n)rep(j,1,n)a[_][i][j]=max(a[_][i][j],min(a[_][i][k],a[_][k][j]));
	rep(i,1,n)rep(j,i+1,n)if(a[0][i][j]!=b[i][j]||a[1][i][j]!=c[i][j])return (void)PN;
	
	write(E.size(),10);
	for(auto i:E)write(i.u-1,32),write(i.v-1,32),write(i.w,10);
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen("bike.in","r",stdin);freopen("bike.out","w",stdout);
//	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=1;
	while(_--)solve_the_problem();
}
/*

*/