CF1406E Deleting Numbers

题意简述

交互题，给定集合 $S=\{1,2,\cdots ,n\}$ 和一个隐藏的数 $m$，你需要使用不超过 ${10}^4$ 次操作猜出 $m$，操作类型如下：

• A x，查询在 $S$ 中是 $x$ 的倍数的数的个数。
• B x，查询在 $S$ 中是 $x$ 的倍数的数的个数，并把这些数删去，但是 $m$ 不会被删去。
• C x，表示你猜的 $m=x$。

$1\le m\le n\le {10}^5$。

分析

给出一个常数：$p({10}^5)=9592，r({10}^5)\approx 9700$，$p(n)$ 指的是 $[1,n]$ 的质数个数，$r(n)$ 指的是 $[1,n]$ 的质数。

考虑到每个 $m$ 都可以写成唯一分解的形式 $\prod _i{p}_i^{c_i}$，考虑枚举每一个 $p_i$，使用一次 B 操作删去 $p_i$ 的所有倍数，然后查询此时 $p_i$ 倍数个数。若为 $1$，那么 $p_i$ 是 $m$ 的其中一个质因子，暴力枚举每一个 $p_i^k$ 使用 A 操作就能得到 $m$ 在这个质因数下的具体指数。

但这样的询问次数是 $p(n)+r(n)\approx 19200>{10}^4$，不能通过。

考虑优化，一个很经典的套路是对质因子根号分治，设阈值 $B=\sqrt{n}$，$\le B$ 的质因子可以向之前那样暴力计算，而质数幂的数量大概在 ${\displaystyle \frac{B}{\ln B}}\times {\log }_{p}n=O(B)$ 量级，次数较小，可以承受。

而 $m$ 至多有一个 $>B$ 的质因子，若 $m$ 不为 $1$ 或者 $>B$ 的质数，那么我们只需要对每个质因子使用 A 操作，若 $m$ 包含某个质因子，那么在对这个质因子使用 A 操作返回的答案是 $2$，那么只需要 $p(n)$ 次操作就可以求出答案。

但如果 $m$ 为 $1$ 或者 $>B$ 的质数，无论对那个质因子操作返回的答案都是 $1$，这种情况下我们只能使用暴力方案求解，次数还是爆炸。

发现对每个质因子都使用 A 操作 check 太浪费了，考虑把多个质因子批量删除之后一起使用 A 操作 check。对质因子分块，设块长 $C=100$，考虑逐块查询，将块内质因子用 B 操作删掉后查询 A 1，若返回的答案不为 剩余的质因子数+1，那么 $m$ 落在这个块内，暴力 check 即可。次数为 $B+p(n)-p(B)+C+\frac{p(n)}{C}\le {10}^4$，可以通过。