P3573 [POI2014] RAJ-Rally

题意

给定一个 DAG，你需要删掉一个点使得原图的最长路径的长度最短，求出答案和方案。

$n \leq 5 \times 10^{5}, m \leq 10^{6}$

分析

DAG 的一条路径有一个优美的性质：一定是从拓扑序小的点指向拓扑序大的点。

考虑按照拓扑序从小到大处理每一个点。假设我们处理到了点 $x$ ，它的拓扑序是 $i$ ，设拓扑序小于 $i$ 的点为左部点，拓扑序大于 $i$ 的点为右部点。考虑将答案的贡献分为三部分：左部点内部、右部点内部、左部点到右部点。前两种贡献都很好算，第一种做正图 DP（设结果为 $f_{i}$ ），第二种做反图 DP（设结果为 $g_{i}$ ）。至于第三种，把所有从左部点指向右部点的边单独拎出来（当然先把与 $x$ 相连的入边删掉，注意到出边不会有贡献所以不用特别处理），那么经过一条边 $u \to v$ 的最长路径是 $f_{u} + g_{v} + 1$ ，求最小值即可。

我们需要支持插入、删除、求最小值，可删堆/set 都可以。时间复杂度一个老哥。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#include<cassert>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P0 puts("0")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define un using namespace
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);++a)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);--a)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=(d))
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=(d))
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
//#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
typedef long long i64;
typedef unsigned long long u64;
using pii=pair<int,int>;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	int y=0;char z[40];
	while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
	while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=5e5+5,maxm=4e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,m;
struct Graph{
	vector<int>G[maxn];
	int f[maxn],in[maxn];
	int dfn[maxn],dfncnt;
	void add(int x,int y){
		G[x].emplace_back(y),in[y]++;
	}
	void solve(){
		queue<int>q;
		rep(i,1,n)if(!in[i])q.push(i);
		while(!q.empty()){
			int nw=q.front();q.pop(),dfn[nw]=++dfncnt;
			for(int u:G[nw]){
				f[u]=max(f[u],f[nw]+1);
				if(!(--in[u]))q.push(u);
			}
		}
	}
} A,B;
/*
a 左部点内的答案  
b 右部点内的答案
c 连接左部点和右部点的答案 
*/
multiset<int,greater<int> >a,b,c;
int d[maxn];
inline void solve_the_problem(){
	n=rd(),m=rd();
	rep(i,1,m){
		int x=rd(),y=rd();
		A.add(x,y),B.add(y,x);
	}
	A.solve(),B.solve();
	a.insert(-inf),b.insert(-inf),c.insert(-inf);
	rep(i,1,n)b.insert(B.f[i]);
	rep(i,1,n)d[A.dfn[i]]=i;
	int ans=inf,id=0;
	rep(i,1,n){
		int x=d[i];
		b.erase(b.find(B.f[x]));
		for(int u:B.G[x]){
			c.erase(c.find(A.f[u]+B.f[x]+1));
		}
		int res=max({*a.begin(),*b.begin(),*c.begin()});
		if(res<ans)ans=res,id=x;
		a.insert(A.f[x]);
		for(int u:A.G[x]){
			c.insert(A.f[x]+B.f[u]+1);
		}
	}
	write(id,32),write(ans);
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
//	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=1;
	while(_--)solve_the_problem();
}
/*

*/