P11071 「QMSOI R1」 Distorted Fate

介绍一种好想、在线、空间小、跑的还挺快的做法（？）

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先暂时不考虑修改，只考虑怎么快速求解询问。

询问相当于区间内前缀按位或的和。根据按位或的性质，当区间内某个值在某一位下是 $1$，那么所有包含这个值的前缀的按位或结果在该位下都为 $1$。

考虑拆位，单独考虑每一位对答案的贡献，设 $w$ 是当前枚举的二进制位，$[l,r]$ 内从左往右第一个在该位下为 $1$ 的数的下标为 $p$，则这一位的贡献为 $2^w\times (r-p+1)$。我们只需要用一个数据结构快速查询区间内第一个某一位为 $p$，考虑到我们还有修改，我们选择用线段树维护，开 $O(\log V)$ 棵线段树，每个节点维护第一个 0 和第一个 1 的出现位置。时间复杂度 $O(n\log n\log V)$，空间复杂度 $O(n\log V)$，精细实现应该可以过题。

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感觉开 $O(\log V)$ 棵线段树有点太浪费了，能不能只开一棵呢？

可以！

线段树维护区间 OR 值，先考虑查询，将询问区间划分成 $O(\log n)$ 段，因为我们只需要知道每一位第一次出现的位置在哪里，所以处理某个区间时，设前面的区间 OR 值是 $v$，对于这个区间，我们只需要考虑 $v$ 为 $0$ 的那些二进制位即可。如果没有，直接退出。

将询问区间划分好了之后，每个区间内部的处理和上面是一样的：当递归右子树时，求出左子树的 OR 值，仍设其为 $v$，那么在右子树中只需要考虑 $v$ 为 $0$ 的二进制位即可，如果没有就退出。

分析时间复杂度。由于只有对答案有贡献的那些链会一直往下递归到叶子，而这些从根走向叶子的链至多只有 $O(\log V)$ 条，每条这样的链的深度为 $O(\log n)$，故时间复杂度 $O(n\log n\log V)$。

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接着考虑修改。众所周知，对区间异或 $x$ 后最终的区间 OR 值不等于最初的 OR 值异或 $x$。不难发现，对于某一位，当区间内的所有数在这一位上不全为 $1$，这个方法会出错。考虑再维护一个区间 AND 值，那么出问题的数位在区间 AND 值中为 $0$。将异或 $x$ 后的区间 OR 值或上（不能异或）区间 AND 值在模 $2^{30}$ 次方意义下按位取反后的值，得到的就是正确的区间 OR 值。

区间 AND 值同理，异或 $x$ 后发现出问题的数位在区间 OR 值中为 $1$，只需要再与上区间 OR 值在模 $x$ 意义下按位取反后的值（$x$ 为 $0$ 的数位要赋成 $1$）即可。具体可以看代码。

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至此这道题就做完了，时间复杂度 $O(n\log n\log V)$，由于我们只需要维护 tag 以及区间 OR 和 AND 的值，所以空间复杂度为 $O(n)$。但注意到这 $\log V$ 条从根到叶子的链是会有很大一部分重复的，所以这个 2log 严重跑不满。实际运行效率很高，最大点跑了 130+ms。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#include<cassert>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0)
#define OTIE cout.tie(0)
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P0 puts("0")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define un using namespace
#define popc __builtin_popcountll
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);++a)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);--a)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=(d))
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=(d))
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
//#define int unsigned int
//#define int __int128
using namespace std;
typedef long long i64;
typedef unsigned long long u64;
using pii=pair<int,int>;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
template<typename T>
inline void write(T x,char ch='\0'){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	int y=0;char z[40];
	while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
	while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=2e5+5,maxm=4e5+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=(1<<30)-1;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,Q,a[maxn];
int d[2][maxn<<2];
int tag[maxn<<2];
#define mid ((l+r)>>1)
inline void pu(int p){
	d[0][p]=d[0][lson(p)]|d[0][rson(p)];
	d[1][p]=d[1][lson(p)]&d[1][rson(p)];
}
inline void pt(int p,int v){
	int _0=d[0][p],_1=d[1][p];
	d[0][p]=(_0^v)|((_1^mod)&v);
	d[1][p]=(_1^v)&((_0^mod)|(mod^v));
	tag[p]^=v;
}
inline void pd(int p){
	if(tag[p]){
		pt(lson(p),tag[p]),pt(rson(p),tag[p]);
		tag[p]=0;
	}
}
void bd(int l=1,int r=n,int p=1){
	if(l==r)return d[0][p]=d[1][p]=a[l],void();
	bd(l,mid,lson(p)),bd(mid+1,r,rson(p)),pu(p);
}
inline void upd(int ll,int rr,int v,int l=1,int r=n,int p=1){
	if(ll<=l&&r<=rr)return pt(p,v);
	pd(p);
	if(ll<=mid)upd(ll,rr,v,l,mid,lson(p));
	if(rr>mid)upd(ll,rr,v,mid+1,r,rson(p));
	pu(p);
}
inline pii operator+(pii x,pii y){
	return mp(x.fi|y.fi,(x.se+y.se)&mod);
}
inline pii qry(int ed,int v,int l,int r,int p){
	if((v|d[0][p])==v)return mp(0,0);
	if(l==r)return mp(d[0][p],(1ll*(ed-l+1)*(d[0][p]-(d[0][p]&v)))&mod);
	pd(p);
	pii res=qry(ed,v,l,mid,lson(p));
	return res+qry(ed,v|res.fi,mid+1,r,rson(p));
}
inline pii _qry(int ll,int rr,int v=0,int l=1,int r=n,int p=1){
	if((v|d[0][p])==v)return mp(0,0);
	if(ll<=l&&r<=rr)return qry(rr,v,l,r,p);
	pd(p);
	if(rr<=mid)return _qry(ll,rr,v,l,mid,lson(p));
	if(ll>mid)return _qry(ll,rr,v,mid+1,r,rson(p));
	pii res=_qry(ll,rr,v,l,mid,lson(p));
	return res+_qry(ll,rr,v|res.fi,mid+1,r,rson(p));
}
#undef mid
inline void solve_the_problem(){
	n=rd(),Q=rd();
	rep(i,1,n)a[i]=rd();
	bd();
	while(Q--){
		int op=rd(),l=rd(),r=rd(),x;
		if(op==1){
			x=rd();
			upd(l,r,x);
		}else{
			pii res=_qry(l,r);
			write(res.se,10);
		}
	}
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
//	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=1;
	while(_--)solve_the_problem();
}
/*

*/