P7831 [CCO2021] Travelling Merchant

妙妙题。

题意

给定 $n$ 点 $m$ 边的单向无自环图，每条边有权值 $r_i,p_i$，表示要经过这条边要有至少 $r_i$ 的收益，经过这条边之后会获得 $p_i$ 的收益。对每个点求出从该点出发能不停止的行走初始需要获得至少多少的收益。无解输出 -1。

$n,m\le 2\times {10}^5$

分析

不难发现原题等价于最后在环上转圈。

设 $f_i$ 为从 $i$ 点出发的答案，那么对于每条边显然有转移 $f_u=\underset{u\to v}{min}\{max(r,f_v-p)\}$。

但是这个转移有一个漏洞：这个转移是会成环的。那么复杂度就可能会退化成平方暴力。

考虑另一种思路：

首先，无法到达一个环上的点肯定没用。判断方法可以建反边然后跑拓扑，没有拓扑序的点就是有用的点。删掉无用点之后，不难发现该图所有点都可以通过它的任意一条出边到达一个环。

考虑取出 $r$ 最大的那条边。不难发现，从该边的起点经过这条边一定能到达一个环上。于是有转移 $f_u=min(f_u,r)$，然后把这条边删掉。注意此时该点还可能被其他边更新，所以当前 $f_u$ 不一定是最优解。

删掉一条边之后，若该点没有出度可以更新了，那么当前的 $f_u$ 即为最优的 $f_u$，然后对于该点的所有入点进行 $f_u=\underset{u\to v}{min}\{max(r,f_v-p)\}$ 的更新，然后把这些入边删掉，如果删边之后又出现的无出度的点，那么再对这些点的入边更新，以此类推，我们考虑用队列维护这个过程，直到队列没有点了，此时剩下的边也具有“每个点都可以经过它的任意一条出边到达某个环”的性质，于是接着返回第一步即可。

整个操作，我们需要对 $r$ 从大到小排序，然后维护一个无出度的点的队列。由于每个点只会被压入队列一次，每条边也只会被更新一次，那么复杂度就是 $O(m\log m)$，瓶颈在于排序。

代码丑陋，谨慎观看。

点击查看代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#include<cassert>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0)
#define OTIE cout.tie(0)
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P0 puts("0")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define un using namespace
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);++a)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);--a)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=(d))
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=(d))
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
//#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
typedef long long i64;
typedef unsigned long long u64;
using pii=pair<int,int>;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	int y=0;char z[40];
	while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
	while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=2e5+5,maxm=4e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,m;
struct EDGE{
	int u,v,w,p;
	bool ban;
	bool operator<(const EDGE &pp)const{return w>pp.w;}
}e[maxn];
//struct edge{
//	int to,nxt,w,p;
//}a[maxn];
//int head[maxn],edges;
//void add(int x,int y,int z,int w){
//	a[++edges]=(edge){y,head[x],z,w};
//	head[x]=edges;
//}
int out[maxn];
int f[maxn];
vector<pii>G[maxn];
queue<int>q;
void init(){
	rep(i,1,n)if(!out[i])q.push(i);
	while(!q.empty()){
		int nw=q.front();q.pop();
		for(pii qwq:G[nw]){
			int u=qwq.fi,id=qwq.se;
			e[id].ban=1;
			if(!(--out[u]))q.push(u);
		}
	}
}
inline void solve_the_problem(){
	n=rd(),m=rd();
	rep(i,1,m){
		int x=rd(),y=rd(),z=rd(),w=rd();
		e[i].u=x,e[i].v=y,e[i].w=z,e[i].p=w;
	}
	sort(e+1,e+m+1);
	rep(i,1,m){
		out[e[i].u]++,G[e[i].v].emplace_back(mp(e[i].u,i));
	}
	init();
//	rep(i,1,n)write(out[i],32);P__;
//	rep(i,1,m)write(e[i].ban,32);P__;
	mem(f,0x3f);
	rep(i,1,m)if(!e[i].ban){
		f[e[i].u]=min(f[e[i].u],e[i].w),--out[e[i].u],e[i].ban=1;
		if(!out[e[i].u])q.push(e[i].u);
		while(!q.empty()){
			int nw=q.front();q.pop();
			for(pii qwq:G[nw]){
				int u=qwq.fi,id=qwq.se;
				if(!e[id].ban){
//					printf("edge %d->%d,value=%d,f[nw]=%d,e[id].w=%d\n",u,nw,max(e[id].w,f[nw]-e[id].p),f[nw],e[id].w);
					f[u]=min(f[u],max(e[id].w,f[nw]-e[id].p)),e[id].ban=1;
					if(!(--out[u]))q.push(u);
				}
			}
		}
	}
	rep(i,1,n)write(f[i]==inf?-1:f[i],32);
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
//	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=1;
	while(_--)solve_the_problem();
}
/*

*/