[ABC250Ex] Trespassing Takahashi

感觉是很厉害的结论题。

题意

给你一个带权无向连通简单图 $G=(V,E),|V|=n,|E|=m$。钦定编号 $1\sim k$ 的点为关键点。给定 $q$ 次询问，每次询问给出 $x,y,t$，表示你需要回答是否存在一条路径，使得从 $x$ 出发到 $y$ 的路径上相邻两个关键点的距离都不超过 $t$。保证 $x,y$ 为关键点且 $t$ 升序。

$n,m,q\le 2\times {10}^5$。

分析

考虑对关键点之间两两建一条边，边权为原图中两点的最短路，当询问的 $t$ 大于边权时，把该边加进图中。由于只需要维护可达性，可以用并查集维护。

但是把关键点两两之间建边显然太浪费了。

考虑原图每条边的贡献，即每条边在 $t$ 至少为多少时才会发挥作用。

用 dijkstra 跑出关键点到普通点的最短路，那么一条边权为 $w$ 的边 $u\to v$ 会在 $di{s}_u+di{s}_v+w$ 时刻被激活并发挥作用。

这样为什么是对的？

考虑两个关键点 $x,y$ 和它们之间的一条路径，如果在某一时刻两个点能通过这一条路径连通，那么路径上的所有边都需要被激活是一个必要条件。

考虑证明充分性：

如果一条从 $x$ 到 $y$ 的路径上的所有边都激活，设路径为 $x=v_0,v_1,v_2,\cdots ,v_t=y$，那么我们能构造一组合法的从 $x$ 到 $y$ 的方案（这 $p_i$ 为距离 $i$ 最近的关键点）：$v_0=p_{v_0},v_0,v_1,p_{v_1},v_1,v_2,p_{v_2},\cdots ,p_{v_{t-1}},v_{t-1},v_t,p_{v_t}=v_t$。根据定义，$di{s}_{p_u,u}+w+di{s}_{v,p_v}\le t$，所以每个相邻的 $p_u\to u\to v\to p_v$ 的路径都是合法的，相邻两个关键点的用时都在 $t$ 之内。

根据这个条件，我们只需要将所有边的激活时间升序排序，然后每次询问把激活时间 $\le t$ 的边激活，并查集维护即可。

时间复杂度 $O(n\log n)$。

代码不放了。