【24noip十连测day1】异或症测试（线性基）

题意

给定一棵带权仙人掌，有 $q$ 次询问，给出 $x,y,k,s$，并令一条简单路径的权值为路径上所有边的异或和，令 $S$ 为所有 $x,y$ 之前的简单路径的权值所形成的不可重集合，再令 $T=\{x|x\in S,x\mathrm{and}s=s\}$，你需要求出集合 $T$ 的第 $k+1$ 小值。

$n\le 2\times {10}^5,q\le 5\times {10}^4$

分析

若图是一颗树，令 $su{m}_i$ 为 $i$ 到根的路径的权值，答案即为 $su{m}_x\oplus su{m}_y$。

若图是一棵仙人掌，对于 $x\to y$ 上的所有的环，那么 $S$ 就是 $su{m}_x\oplus su{m}_y$ 再异或上某些环的权值构成的集合（表示可以选择走环的顺时针方向和逆时针方向）。不考虑 $s$ 的限制，那么把所有环的权值扔到线性基里，对线性基求 $k$ 小值即可。

考虑询问，把圆方树建出来，并把环的权值挂在方点上，预处理出一个点到根节点的线性基 $T_i$，每次询问需要将 $T_x,T_y$ 合并，但此时线性基中会有不在链上的权值。考虑可删除线性基的处理套路，每次插入要尽可能的使深度更大，这样查询的时候把深度小于 lca 的那部分扔掉即可。

现在考虑 $s$ 的限制，考虑把原线性基对 $b_i\mathrm{and}s$ 在做一遍线性基（注意线性基里存的数是 $b_i$ 不是 $b_i\mathrm{and}s$），但这个新线性基有一点不同：新线性基每一位存的数的最高位不一定是这一位，仅仅是这个数在这一位下为 1。根据线性基的性质，新线性基里的所有数能表示出所有的 $\mathrm{and}s$ 后的数（原线性基也能）。如果它不能使 $val$ 包含 $s$，那么就无解。

有几个关于求新线性基的点：

• 求新线性基中每一位的元素时，可以在原线性基中比这一位更高的元素去找，在该位下为 1 的元素。同时，由于符合条件的数有很多，为了保持新线性基的性质（不能让线性基某一位的数存在与 $s$ 意义下比这一位更高的位使得此数在该位下为 1）。

否则，将新线性基之外的数通过与新线性基里的数异或使得其与 $s$ 互斥（即 $x\mathrm{and}s=0$），根据新线性基的性质，我们总是能做到。

然后，我们任意选新线性基之外的数，根据新线性基的性质，我们总能通过异或新线性基里的数使得结果包含 $s$。所以，能异或出来的数的数量为 $2^{\mathrm{原}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{基}\mathrm{大}\mathrm{小}-\mathrm{新}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{基}\mathrm{大}\mathrm{小}}$。

同时，将在新线性基中的数从原线性基中删去，由于此时原线性基所有数不包含 $s$，所以直接照常做第 $k$ 小即可。

时间复杂度 $O(n\log n+q{\log }^{2}n)$。

代码：http://zhengruioi.com/submission/793826