CF2006D Iris and Adjacent Products

题意

https://codeforces.com/contest/2006/problem/D

分析

考虑如果没有修改怎么重排最优。先把最大值丢进序列，再把最小值丢进序列，再把次大值丢进序列，再把次小值压进去，以此类推。感性理解的话不难发现这是最优情况，具体证明可以考虑调整法（~~但我懒~~）。

令 $b$ 为 $a$ 排序后的结果，那么 $max a_{i} \cdot a_{i + 1} = max b_{i} \cdot b_{n - i + 1}$ ，简而言之就是 $k$ 大值乘 $k$ 小值的乘积最大值。如果 $n$ 为奇数那么最中间的那个数没用。

如果要修改的话，显然要把当前最大值修改为 $1$ ，然后就变成了 $k + 2$ 大值和 $k$ 小值的乘积最大值。

那么一个三方暴力就呼之欲出了：若一个 $p$ 大值和一个 $q$ 小值（满足 $p \geq q$ ）的乘积大于 $k$ ，那么修改次数就需要至少为 $\frac{p - q}{2} + 1$ ，最终答案就是对所有的 $\frac{p - q}{2} + 1$ 取 max。注意这里不需要讨论 $p - q$ 是奇数的情况，因为此时乘积大于 $k$ 那么 $p \leftarrow p + 1$ 后乘积更大且修改次数不变。

当然这个暴力很容易优化成平方 log，但对正解没啥启发作用。

发现 $k$ 很小，结合乘法运算的性质，考虑根号分治，把 $\leq \sqrt{k}$ 的数分为一类（称之为第一类）， $> \sqrt{k}$ 的数分为一类（称之为第二类）。显然两个第二类的数相乘必定大于 $k$ ，两个第一类的数相乘必定不大于 $k$ 。发现对于第二类数，我们不关心每个数的具体数值，只关系它跟哪些数相乘会大于 $k$ 。考虑把第二类的数重标号，将 $x$ 重标号为 $\sqrt{k} + ⌊ \frac{k}{x} ⌋$ ，表示这个数在和第一类数中大于 $\frac{k}{x}$ 的数相乘会大于 $k$ ，加上 $\sqrt{k}$ 只是为了区分第一类数。不难发现此时不同的数种类只有 $2 \sqrt{k}$ 个。

考虑询问。由于不同的数种类只有 $2 \sqrt{k}$ 个，所以我们完全可以把区间内每种数的出现次数存下来，跑一遍前缀和就可以知道值域在某段区间内的数的个数。

分类讨论：

两个二类数相乘（前提是需要有至少两个二类数）：把排名最小的二类数和排名最大的二类数相乘，能让修改次数卡满。
一类数和二类数相乘：枚举每个二类数 $x$ ，求出排名最大的 $x$ 以及所有 $> x - \sqrt{k}$ 的数中排名最小的 $y$ ，能让修改次数卡满。

但是，如果维护出 $s_{c, i}$ 表示前缀 $i$ 中 $c$ 的出现次数的话是 $O (n \sqrt{k})$ 的，空间开不下。一种容易想到的方法是考虑莫队维护每种数的出现次数，时间复杂度 $O (n \sqrt{n} + q \sqrt{k})$ ，空间复杂度 $O (n + q + \sqrt{k})$ ，可以通过。